Patrones en números binarios

Existen algunos patrones  interesantes en los números binarios.  He encontrado que, al comprender estos patrones,  tengo una mejor intuición del número binario con   el que estoy trabajando. Así que veamos  algunos de estos patrones en este vídeo.  Empecemos con los números impares. El número  3 del sistema decimal es impar y en binario   es 0011. Ahora, el número 5 del sistema  decimal que es impar en binario es 0101,   el 7 del sistema decimal en binario es  0111, finalmente el 9 en binario es 1001.  Entonces, ¿notaste el patrón en estos  números binarios? Te daré una pista si   no lo has encontrado. ¡Tan tan tan tan tan!  Todos estos números binarios terminan  en 1, de hecho la única forma de que un   número sea impar en el sistema de numeración  binario es que termine en 1. Esto se debe a   que el 1 está en la posición de las unidades y  cualquier otra posición es una potencia de 2.  Recuerda un número impar es un número que  al dividirlo entre 2 queda un residuo de 1,   eso significa que siempre tenemos  que tener un 1 en la posición de   las unidades para crear un número impar. Ahora podemos ver cualquier número binario   y saber si es par o impar, así que probemos  luego con algunos números muy grandes.  ¿Cuál de estos es impar? Bueno, vayamos  a la posición de las unidades y veamos.   Cero, cero, uno, cero. Muy bien, este es el  número impar, todos los demás son pares. Entonces,   aunque no tenemos una idea de qué número son  estos, sabemos que éste es un número impar,   y con esto tenemos una mejor  intuición de los números binarios.  Pero sigamos explorando y veamos qué más hay. Otro patrón interesante lo encontramos cuando   el número binario tiene solamente unos,  es decir, podemos tener el 1 el 11 el   111 y el 1111, ¡un montón de unos! Entonces, en el sistema decimal este   primer valor es lo mismo que 1, 3 es 11 en  binario, 7 es 111, y 15 es 1111. Entonces,   ¿qué tienen de especial estos números decimales  que encontramos, es decir 1, 3, 7 y 15?  Tal vez no sea obvio al principio, pero cada uno  de ellos es de hecho una potencia de 2 menos 1. Es   decir, este 1 es lo mismo que 2 menos 1, 3 es lo  mismo que 4 menos 1, 7 es lo mismo que 8 menos 1,   y 15 es lo mismo que 16 menos uno. Podemos escribir esto en términos de   potencia es de 2 esto es 2 a la 1 menos 1, 2 a la  2 menos 1, 2 a la 3 menos 1, y 2 a la 4 menos 1.  Por lo tanto, cuando un número binario solo tiene  unos en todas sus posiciones entonces siempre será   igual al número más grande que puede representarse  por este número de bits. Esto es muy parecido a lo   que pasa en el sistema decimal cuando tenemos  números como el 9, 99, 999 y 9999. Si sumamos   1 pasaremos al siguiente valor posicional y, por  lo tanto, este es el valor más grande que se puede   expresar con ese número de dígitos. Esto es lo que  estamos viendo por aquí. También podemos escribir   el número de bits con el que estamos trabajando  por aquí. Si nos fijamos en el número de bits   tenemos un bit, 2 bits, 3 bits, y 4 bits. Así que  podemos ver que para 4 bits el número más grande   que podemos representar es 2 elevado a la 4 menos  uno. Para 3 es 2 elevado a la 3 menos 1, etcétera.  Eso significa que si sabemos el número de bits que  tenemos sabremos el valor más grande que podemos   representar con ese número de bits, y sabremos  que ese valor será a tener un 1 en cada posición.  Así que podemos usar esta información para  ayudarnos a comprender mejor los números binarios.  Entonces, considera este número binario 1 1 1 1  1 ¿A qué es igual en el sistema decimal? Bueno,   tenemos 1 2 3 4 5 bits, así que este debe de ser  igual a 2 elevado a la 5 menos 1. 2 elevado a las   5 es lo mismo que 2 por 2 por 2 por 2 por 2 que es  lo mismo que 32. Y si le restamos 1 obtenemos 31.   Entonces, sin tener que sumar todos estos valores  encontramos de manera sencilla el resultado.  Ahora bien, también podemos hacerlo a la antigua,  así que veamos: posición del 1, posición del 2,   posición del 4, posición del 8, posición del  16, y podemos decir que 16 más 8 son 24 más 4   son 28 más 2 son 30 más uno es 31. Entonces de cualquier manera que   lo hagamos obtendremos el mismo valor. Esto nos da otra forma de entender los   números binarios y de poder tener  una mejor intuición sobre ellos.