Problema de desafío con números complejos: determinante complejo

vamos a resolver este problema dice sea un mega el número complejo coseno de 2 entre 3 más y seno de 2 y entre 3 entonces la cantidad de números complejos distintos z que satisfacen que este determinante es igual a cero es igual a ok tenemos que encontrar la cantidad de setas que hagan que este determinante sea cero así que vamos a desarrollar este determinante para ver que nos queda y después veremos qué hacemos con la zeta bueno desarrollando este determinante en la primera fila tenemos que multiplicar este set a más uno con el determinante de esta matriz de dos por dos entonces nos quedaría z más uno z más 1 x el determinante de ésta que es z más omega cuadrada que está más o menos cuadrada por zeta más omega se está más omega y sería menos uno por uno o sea menos uno y esta es una zeta ok entonces cerramos paréntesis esto es para z más 1 ahora vamos a pasar a este omega a este omega de acá que le toca signo negativo verdad porque estamos porque porque estamos haciendo un determinante y tiene como patrón de tablero de ajedrez entonces ahora sería menos omega por el determinante de estos 4 que se obtienen de tachar esta esta columna y esta fila entonces sería menos omega por y aquí hay que poner el determinante de esta matriz de 2 por 2 que es omega por zeta más omega omega por zeta más omega menos 1 por omega cuadrada o sea menos omega cuadrado vale ok y ahora vamos con este de acá con omega cuadrada le toca signo más lo voy a poner aquí en color amarillo y ahora tenemos que multiplicar por el determinante de esta matriz entonces sería más omega cuadrada multiplicado por omega por uno es omega - omega cuadrada por z más o menos cuadrada o menos cuadrada por zeta más omega cuadrada ok entonces queremos encontrar las setas que cumplan que esto es igual a cero o sea las setas que cumplan que esta expresión es igual a cero déjame desarrollarla para ver si podemos simplificarlo un poquito entonces con color azul voy a hacer esta parte nos quedaría z1 y voy a hacer el producto de estos dos nos quedaría z x zz cuadrada z por omega z omega luego omega cuadrada por zeta lo voy a poner como zeta o mega cuadrada y finalmente nos queda omega cúbica de este producto y hay que restar un 1 ya eso hay que restar hay que restar omega por aquí nos queda omega por zeta omega por zeta más omega cuadrada menos omega cuadrada esto está bueno ya cancelamos algo y finalmente en amarillo nos queda omega cuadrada por omega menos aquí lo voy a poner como mega cuadrada z o mega cuadrada z más perdón aquí es menos verdad porque es menos menos omega cuarta menos omega cuadrada me por omega cuadrado es menos omega cuarta muy bien esto de aquí queremos que sea igual a cero esto va un poquito para largo pero les seguimos entonces parte azul vamos a ver qué nos queda acá es z por cada uno de estos términos entonces nos quedarían nos quedaría z cúbica más se está cuadrada omega más se está cuadrada omega cuadrada más zeta omega cúbica menos z y luego es uno por cada uno de estos términos simplemente los copió igualitos está cuadrada más zeta omega + zeta omega cuadrado más omega cúbica menos 1 ok todo esto es la parte azul vamos con la parte verde que está más sencilla sería menos omega cuadrada z menos omega cuadrada zeta y finalmente comer a cuadrada z ok y finalmente va la parte amarilla que sería más omega kubica omega ubica menos menos omega cuarta zeta omega cuarta z y luego omega cuadrada por menos omega cuarta o sea menos omega sexta y queremos que eso sea igual a 0 muy bien ya que nos interesa encontrar los zetas que hagan que esta igualdad se cumpla voy a juntar esto por potencias de z vale se va a ver un poco arbitrario pero vamos a hacerlo para ver qué queda entonces vamos a empezar con las setas con las setas cúbicas únicamente hay esta seta cúbica entonces la pongo aquí se está cúbica ahora vamos con z cuadrada se está cuadrada tenemos esta estas son las únicas que tenemos entonces factor izándose está cuadrada nos queda omega más omega cuadrada más 1 x z cuadrada sale bueno ahora vamos con las que nada más tienen z las que nada más tienen zetas son z omega kubica menos zeta ceta omega más z omega cuadrada menos z omega cuadrada pero fíjate este está bueno este se cancela con este entonces ya no nos preocupamos por él y además está esté menos omega la cuarta z entonces sería más más omega kubica porque vamos a factorizar la zeta entonces omega cúbica más omega más omega muy bien luego menos zeta o sea sería un -1 ya los cambio un poco de orden pero bueno entonces menos 1 y menos omega a la cuarta menos omega a la cuarta por z excelente ya que nos acabamos las potencias de zeta ya nada más quedan puras constantes bueno recuerda omega el cubo finalmente es un número entonces ya todo lo demás son constantes entonces déjame ver cuánto nos queda vamos a vamos a tomar este color rosa entonces sería más omega al cubo omega el jugo menos uno este este más omega al cubo mega el cubo menos omega a la sexta ok y queremos que esta expresión sea igual a cero mira ya separamos entre las cosas que tienen omega y las que tienen z entonces ahora sí estaría muy padre entender a este número omega a entender que hace vale y bueno para entenderlo así si lo ve uno de lejos se ve muy feo pero si nos acordamos de esta fórmula que dice que es a la teta es igual a coseno de teta le voy a poner un poco más bonita coseno de teta más y seno de teta entonces nos podemos dar cuenta que este numerito no es nada más que osea que omega omega simplemente es igual a a las 2 p tercios por y que si ponemos teta igual a dos tercios entonces tenemos coseno de dos tercios y seno de dos tercios por y entonces esto va a estar muy bueno y bueno parece ser como que un poco más complicado pero no porque ahora va a ser más fácil elevar omega a diferentes potencias vamos a ver quiénes omega así de adeveras alguien en el mero plano complejo entonces déjame poner por acá el plano complejo aquí voy a poner y voy a poner el eje imaginario por acá voy a poner el eje el eje real ahí tenemos imaginario aquí tenemos real y un número de la forma de ala y por teta es simplemente el número que tiene magnitud 1 déjame tomar este línea que tiene magnitud 1 y cuyo ángulo cuyo ángulo éste está en este caso tenemos dos tercios entonces serían 120 grados está acá estoy acá es dos pi tercios y por lo tanto éste sería omega y bueno se puede se puede ver quién es su parte real y en su parte real tienen su parte compleja ahorita no voy a hacer las cuentas pero pero si te voy a decir quiénes son tenemos que la parte real es menos un medio y la parte compleja la parte compleja si esto es menos un medio este es raíz de 3 la raíz de 3 sobre 2 perdón la parte imaginaria es raíz de 3 sobre 2 muy bien entonces tenemos lo siguiente tenemos que omega omega es igual a la 2 p tercios por iu pero esto de aquí es igual a menos menos un medio más raíz de tres entre 2 y lo bueno de ver al número axial verde de ver al número común dos tercios por y es que elevar al cuadrado es muy sencillo tenemos que llegar al cuadrado es igual a e a la cuatro tercios pi tercios por y que simplemente es el que está de este lado verdad tiene la misma o sea es tenemos 120 grados sumamos otros 120 grados llegamos a 240 y por lo tanto tiene la misma parte real sería menos un medio pero ahora su parte imaginaria es hacia abajo menos raíz de 3 sobre 2 y pero lo que es todavía mejor lo que es todavía mejor es que cuando elevamos omega al cubo omega al cubo obtenemos un ángulo de 360 grados y por lo tanto regresamos aquí al origen entonces omega el jugo bueno es otra forma de pensar lo es que omega al cubo es a la 2 y 2 p y utilizando esta fórmula tenemos que sería coseno dedos pin que es igual a uno más y bs seno del hospi seno de dos pies cero entonces omega al cubo es igual a la 2 piqué es igual a 1 y mirad esto está muy bueno porque si ya tenemos omega al cubo y este omega el cubo nos quedó igual a 1 pues ahora omega a la cuarta que voy a poner en este color omega a la cuarta es igual a omega al cubo por omega omega al cubo es 1 entonces esto es igual a omega y omega la sexta es igual a omega al cubo al cubo al cuadrado que es igual a 1 al cuadrado que es igual a 1 y estoy calculando todas estas potencias de omega estoy calculando estas potencias de omega porque son las que necesito para aquí arriba vale muy bien entonces ya con esta información de las potencias de omega ya podemos simplificar esta expresión vamos a ver cuánto nos queda digamos aquí mira aquí tenemos omega que es menos un medio más raíz de 3 sobre 2 y quizás no se ve muy bien pero estoy copiando esto de acá más omega cuadrada que es le voy a poner menos un medio menos raíz de 3 sobre 2 y ya eso tenemos que sumarle 1 pero mirad el raíz de 3 sobre 2 y se cancela con este de acá y el menos un medio con el menos un medio se hace un menos uno que con este 1 se cancela entonces para no hacer una historia larga muy larga básicamente esto es 0 entonces estoy acá se cancela y se hace 0 vamos a ver qué sucede de este lado vamos a ver qué sucede de este lado fíjate van a empezar a pasar cosas padres o mega el jugo es 1 y aquí tenemos un -1 entonces este omega el cubo con este menos 1 se cancelan pero además omega se cancela con menos omega la cuarta porque omega la cuarta y omega son igualitos es esta igualdad que tenemos acá entonces este con este también se cancelan entonces toda esta expresión es 0 y esto también se cancela y finalmente vamos a ver qué pasa con las constantes aquí tenemos omega al cubo menos 1 que es un 0 y aquí tenemos omega al cubo que es un 1 menos omega lasexta que también es un 1 entonces esto otra vez es 0 entonces esto está súper súper padre porque nuestra expresión complicadísima que viene del determinante se simplifica se simplifica a la ecuación zeta al cubo es igual a 0 y las únicas soluciones o más bien la única solución en los números reales son los números complejos para z al cubo es igual a cero es z sea igual a 0 muy bien entonces ya tenemos ya tenemos el único valor de seta que satisface pero no nos piden el valor de z nos piden la cantidad de números complejos que satisfacen la igualdad entonces como nada más hay un complejo que satisface la igualdad la respuesta aquí es 1