Introducción al desarrollo en fracciones parciales

en este vídeo vamos a aprender algunas cositas acerca de la expansión en fracciones parciales déjame escribirlo por acá le voy a poner expansión expansión expansión en fracciones fracciones fracciones parciales garcía les parciales también se le conoce como descomposición en fracciones parciales vale bueno la idea es empezar con una expresión racional o sea una expresión que tenga un polinomio en el numerador y en el denominador y esa expresión la vamos a descomponer en algunas partes más sencillas ahora para empezar a hacer esto de la expansión en fracciones parciales tenemos que asegurarnos que el numerador tenga menor grado que el denominador pero eso no sucede en este ejemplo de aquí entonces lo primero que tenemos que hacer en este caso es hacer una división larga de polinomios para bajarle el grado el numerador vamos a hacerlo esto nos va a ayudar a repasar la división larga así que eso está padre entonces lo que tenemos que hacer es dividir entre x al cuadrado menos 3x menos 40 menos 40 a la expresión y aquí va el numerador x al cuadrado menos 2 x menos 37 entonces para hacer esta división larga lo que teníamos que hacer es preguntarnos cuántas veces x al cuadrado en x al cuadrado bueno aquí está sencillo simplemente cabe una vez va ahora multiplicamos 1 por esta expresión nos queda x al cuadrado menos 13 x menos 40 y entonces ahora tenemos que restar así que déjame cambiarle los signos esto es menos éste es más éste es más entonces estos se cancelan menos 2 x 3 x s x y menos 37 40 es más 3 muy bien entonces después de hacer esta operación lo que podemos hacer es reescribir esta expresión racional como 11 + x + 3 x 3 / / / x al cuadrado x al cuadrado menos 3 x menos 40 y aquí ya tenemos una expresión racional donde el numerador tiene grado más pequeño que el denominador y bueno esto puede parecer magia verdad porque estamos aquí trabajando con polinomios y de repente le bajó el grado pero realmente esto es lo mismo que hacíamos en primaria cuando convertimos fracciones en números mixtos déjame hacer un ejemplo rápido para para que veas a qué me refiero osea en primaria nos daban una fracción del estilo 13 medios 13 medios y lo que nosotros hacíamos bueno ahorita ya lo podemos hacer hasta mentalmente pero lo que hacíamos para transformarla en un número mixto es hacer la división de casita 13 entre 2 vale entonces dos cabezas seis veces y sobra uno y entonces reescribimos 13 medios 13 medios como estos 6 enteros como 6 enteros más el residuo dividido entre lo que estamos dividiendo 6 más un medio digo en primaria le poníamos un 6 grandote con un medio al lado pero 6 con un medio así es lo mismo que 6 más un medio vale entonces ya que estamos haciendo exactamente lo mismo hacemos la división acá nos queda un 1 eso es lo que queda aquí afuera es como el entero por así decirlo y luego hay que poner el residuo entre entre lo que estamos dividiendo sale entre el denominador bueno entonces ahora si el grado de el numerador es más pequeño con eso ya podemos empezar nuestra descomposición en fracciones parciales y el chiste es poner esta expresión esta de acá como suma de expresiones más sencillas cuyos denominadores sean factores de este denominador vale entonces pues vamos a encontrar los factores de este denominador eso sería una buena forma de empezar hay que encontrar dos números que multiplicados nos den nos den menos 40 y que sumados nos den menos 3 a ver creo que 8 y menos 5 casi menos 8 y 5 entonces según yo el denominador lo podemos poner común x x 8 por x + 5 si verdad 5 x menos 8 es menos 40 58 es menos 3 entonces déjame reescribir esto lo voy a esto lo voy a reescribir como uno más x + 3 x 3 dividido entre x menos 8 x 8 x x + 5 excelente entonces ya factor izamos el denominador vale aquí está ahorita nada más vamos a seguir trabajando con esta parte pero hasta el final tenemos que acordarnos que hay un 1 aquí afuerita vale entonces déjame copiar esta que es con la que vamos a trabajar la voy a poner aquí al lado entonces es x 3 dividido entre x menos 8 x menos 8 x x + 5 x + 5 y lo que yo afirmo es que esto se puede poner en expresiones más simples de la siguiente forma yo digo que se puede poner como una cierta constante a dividida entre x 8 y a eso le sumamos una constante ve dividida entre x 5 x + 5 entonces eso es lo que yo afirmo ahorita vamos a hacer las cuentas para ver si de adeveras podemos determinar a ive y si podemos encontrarlos entonces listo vamos a haber logrado expresar esto como suma de expresiones más sencillas vale entonces cómo lo vamos a hacer para determinar quiénes son a hebe pues justo vamos a intentar este pues hacer la suma de este lado y comparar los coeficientes numerador y denominador entonces déjame hacer la suma voy a cambiar de color voy a cambiar este rosa entonces para hacer la suma de este lado necesitamos un denominador común y parejo y para dar el denominador común tenemos que multiplicar estos dos ya nos queda x menos 8 x x más cinco vale va entonces ese es el denominador común pero ahora está a ésta pues hay que ajustarla porque aquí en el denominador multiplicamos por x + 5 así que arriba también hay que multiplicar por x más 5 nos quedaría a word x 5 vale y a eso tenemos que sumar lo que corresponda a este sumando entonces otra vez ponemos denominador común x menos 8 por x + 5 pero ahora multiplicamos por x menos ocho así que también hay que hacerlo arriba nos queda b por x menos 8 observa que estas dos son igualitas al cancelar los x + 5 nos queda esta al cancelar los x menos ocho nos queda están acá vale entonces déjame hacer ahora si la suma voy a continuar con mis signos de igual por acá entonces esta expresión con la que empezamos es igual a a por x 5 a por x 5 + b por x 8 x 8 muy bien y eso dividido entre x 8 x 8 x x + 5 x + 5 pero observa tenemos que los denominadores ya son iguales de la de él con lo que empezamos y con lo que terminamos así que para que las cosas realmente sean iguales los numeradores tienen que ser iguales entonces ahora lo que vamos a hacer es igualar el numerador entonces necesitamos o bueno basta ver que x 3 sea igual aa por x + 5 a por x 5 + b x x menos 8 b por x menos 8 y a partir de aquí hay dos formas de continuar una de enseñanza en secundaria otra al aprender después una vez más rápida vamos a empezar con la rapidez y después platicamos de las demás vale bueno de la otra entonces la forma rápida de resolver para encontrar a ive es poner valores de x que nos permitan cancelar algunos coeficientes a qué me refiero con esto por ejemplo qué sucede si le pongo x igual a menos 5 entonces déjame hacerlo por acá si le pongo x igual igual a menos 5 si le pongo x igual a menos 5 entonces esta expresión de acá se va a cancelar porque nos va a quedar menos cinco más cinco déjame escribirlo con calma o sea si pongo x igual a menos 5 me queda menos cinco menos cinco más tres es igual por menos 55 más ve por menos 58 menos 58 muy bien entonces estoy aquí se va a cancelar verdad menos 55 es cero entonces nos va a quedar que menos 53 es decir menos dos menos dos es igual a b b por menos 58 o sea por menos 13 por menos 13 de esta forma dividiendo entre menos 13 tenemos que los signos menos se cancelan y por lo tanto b es igual a 2 entre 13 entonces ahí ya tenemos el valor de b está padre b es igual a 2 entre 13 y podemos hacer algo similar para determinar el valor de a ahora que tenemos que hacer que este se cancele entonces evaluamos en x igual a 8 nos quedaría 11 8 más 3 11 es igual a por 85 o sea a 13 + b x x 8 pero x es 8 entonces esto se cancela entonces nos queda que 11 es igual a 13 a 0 vale entonces ahora dividimos entre 13 y nos queda que 11 tercios 11 tercios es igual excelente entonces ya tenemos los valores de a&b que funcionan para que estas dos expresiones sean iguales aquí este a lo podemos cambiar por 11 entre 13 11 entre 13 estévez lo podemos cambiar por 2 entre 13 2 entre 13 y esto está padrísimo porque podemos irnos para acá arriba para acá arriba y entonces ya podemos podemos escribir nuestra expresión original como si nuestra expresión original va a ser igual a aquí hay un 1 que teníamos que poner a uno más y ahora vamos a poner estas de acá 11 sobre 13 11 11 sobre 13 / x 8 lo voy a poner así podrías poner el 3 en el denominador si no quieres una fracción sobre fracción pero bueno yo lo voy a dejar así más 2 sobre 13 2 sobre 13 dividido entre x más 5 y listo podemos cambiar nuestra expresión de aquí a una expresión más simple bueno podemos pensar si realmente estoy aquí es una expresión más simple porque en vez de tener un sumando ahora tenemos 3 pero lo que sí es cierto es que es una suma de expresiones más simples en los cuales cada uno de ellos tiene un grado menor tanto en el numerador como en el denominador vale y bueno te hace estar preguntando para qué sirve esto para que si tenemos un sumando lo convertimos en 3 a lo mejor en álgebra si por si mismo pues nos sirve pero esta técnica ayuda muchísimo cuando te enfrentes con problemas en cálculo y en ecuaciones diferenciales resulta que después va a ser más fácil integrar cosas de este estilo cada uno de estos sumandos encontrarle su anti derivada que que integrar esto y de manera similar cuando estés haciendo ecuaciones diferenciales va a ser más fácil encontrar la transformada de laplace de estas expresiones que de esta expresión de la izquierda bueno entonces esta es una herramienta más para tu caja de herramientas matemáticas espero que te sea de ayuda y bueno nos vamos a seguir viendo en otros vídeos porque este tema de fracciones parciales todavía da muchas cosas y de las cuales se pueden platicar vale bueno nos vemos en próximos vídeos