Suma de n cuadrados (parte 1)

lo que quiero hacer en este vídeo es llegar a una expresión para hallar la suma esta suma la suma de y cuadrada de las y cuadradas desde que y vale cero hasta n muy bien entonces voy a sumar los primeros en enteros elevados al cuadrado enteros no negativos digamos y esto por ejemplo si empezamos en cero empezamos con cero al cuadrado más uno al cuadrado más dos al cuadrado más tres al cuadrado y así sumamos sucesivamente hasta llegar a n cuadrada muy bien y esto por supuesto sería muy útil encontrar una función donde tú me dices oye te doy esta este número n entonces con esa función yo pueda decirte cuánto vale esta zona desde de los cuadrados desde cero hasta n y esto por supuesto para cuando ven es muy chico pues es fácil de calcular por ejemplo si fuera hasta 3 simplemente sumamos estos y esto de encontrar una función sería muy útil para cuando queremos en es mucho muy muy muy grandes así que vamos a vamos a pensar un poquito qué significa esto tenemos un valor de entrada n para nuestra función y que puede tomar por ejemplo el valor 0 1 2 34 en fin sale podemos seguirnos hasta en cualquier número que se nos ocurra ahora bien si yo quiero calcular nuestra función que va a ser la suma desde igual a cero hasta n de y cuadrada cuanto vale esto cuando n 0 bueno sumamos los cuadrados desde cero hasta cero pues eso es cero ahora si sumamos cero al cuadrado más uno al cuadrado nos da uno qué pasa si sumamos cero al cuadrado más uno al cuadrado más dos al cuadrado tenemos cero uno más cuatro que esto es 5 ahora bien si yo sumo los los cuadrados hasta el 3 tengo cero al cuadrado más 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 3 al cuadrado esto es 0 1 más 4 son 5 más 9 son 14 muy bien son 14 y finalmente si yo sumo todos los cuadrados hasta el 4 al cuadrado tenemos cero más uno más cuatro van cinco más nueve son catorce más cuatro al cuadrado que son 16 y 16 y 14 son 30 muy bien entonces vamos a estudiar un poquito esta tabla para ver qué tipo de función podemos proponer y lo primero que vamos a hacer es qué pasa con la diferencia entre estos números por ejemplo la diferencia aquí 1 - 0 es 1 ahora 5 menos uno eso es 4 14 menos 5 esto es 9 y 30 menos 14 estos son 16 entonces si nos damos cuenta esta sucesión de valores son justamente los cuadrados verdad y si porque estamos restando lea los cuadrados los los cuadrados anteriores entonces nos queda el cuadrado más grande muy bien entonces ahora qué pasa si nosotros hacemos esta diferencia si nosotros sí nosotros restamos estos y nos quedan cuatro menos uno nos da 39 menos 4 nos da 5 16 menos dos menos 9 nos da 7 entonces cómo puedes ahora ver esta sucesión nos va dando más bien lo que es la diferencia de las diferencias nos da una sucesión de valores que son números consecutivos o es una progresión aritmética verdad porque si nosotros hacemos la diferencia de estos dos nos da 2 la diferencia de 7 y 5 nos da 2 y así sucesivamente entonces llegamos a que la diferencia de las diferencias de las diferencias es constante ahora esto último nos sugiere que la función que tenemos que proponer es una función cúbica y esto quedaría mucho más claro en cuanto empiece a saber un poquito más de cálculo de cálculo diferente diferencial e integral entonces lo que nos está diciendo esto que acabamos de hacer es que la función que tenemos que proponer debe ser más o menos bueno debe ser cúbica es decir debe ser un polinomio cúbico aunque no sabemos cuáles son los coeficientes aquí es a n al cubo vn cuadrada más c n más de ahora bien lo que necesitamos encontrar es el valor de abc y de para que esta fórmula funcione muy bien entonces cómo podemos encontrar estos valores y eso es el esa es la razón principal por la cual empecé con esta tablita porque por ejemplo cuando n vale cero cuando n vale cero lo que tenemos es que esta fórmula vale d sin embargo cuando n vale 0 nos debe dar 0 quiere decir entonces que d tiene que ser cero así que este realmente no importa en la fórmula así que sólo nos quedan estas tres muy bien ahora bien vamos a estudiarlo vamos vamos a sustituir para estos valores 1 2 y 3 muy bien entonces para cuando n vale 1 nuestra fórmula nos dice a más ve más y nos debe dar eso 1 verdad nos dice esto nos está tablita nos dice que cuando n vale 1 la fórmula debe valer 1 muy bien vamos a ver qué pasa cuando n vale 2 cuando n vale 2 tenemos 2 al cubo que son 8 que multiplica aa + 2 al cuadrado que son 4 que multiplica a b más 2 x se nos debe dar 5 nos debe dar muy bien y aquí como te puedes dar cuenta es un sistema de ecuaciones donde tenemos tres variables y dos ecuaciones así que necesitamos encontrar una tercera ecuación y eso lo podemos obtener para cuando n vale 3 así que quien tiene vale 3 tenemos 3 al cubo que son 27 a más 3 al cuadrado que son 9 b + 3 x c + 3 x c y esto debe ser exactamente 14 14 muy bien así que ahora lo que tenemos es un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas y tenemos que resolver este sistema para obtener nuestra fórmula que nos va a dar la suma de los primeros n cuadrados muy bien así que voy a parar el vídeo aquí pero te invito a que intenten resolver este sistema de ecuaciones de hecho en el siguiente vídeo voy a resolverlo yo mismo