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Curso: Algebra II - Preparación Educación Superior > Unidad 2

Lección 4: Modelación real con funciones lineales

Modelación de situaciones cotidianas con funciones lineales

Modelación matemática de situaciones cotidianas mediante funciones lineales

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Problemas verbales que involucran ecuaciones y funciones lineales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a aplicar las funciones lineales en la resolución de situaciones cotidianas.

Modelación matemática

Las situaciones cotidianas que involucran la relación entre magnitudes, se pueden representar de diversas formas utilizando algunos modelos matemáticos. Entre estos modelos se encuentran las funciones lineales.

A continuación, vamos a presentar algunas situaciones que se expresan mediante funciones lineales en sus diversas representaciones gráficas, verbales o simbólicas.

Situación 1

Francisco tiene una tienda de productos para fiestas infantiles. En su tienda, él vende globos que encierran un regalo dentro, como se observa en la figura:

Cada globo de este tipo cuesta

20

dólares. Si

x

es la cantidad de globos y

F

es el monto que se paga por dicha cantidad de globos,

¿qué expresión algebraica relaciona correctamente estas variables? y ¿cuál es la representación gráfica de esta relación?

Resolución

Hallamos la expresión algebraica

Para visualizar la relación entre

x

F

, podemos elaborar inicialmente una tabla. Observa.

Cantidad de globos	1	2	3	4	5	6	$\dots$ ‍	$x$ ‍
Precio	20	40	60	80	100	120	$\dots$ ‍	$F (x)$ ‍

Como se desprende de la tabla, el precio por la compra de

x

globos se puede expresar mediante la siguiente relación:

Para $1$ ‍ globo, el precio es $20 = 1 \times 20$ ‍
Para $2$ ‍ globos, el precio es $20 = 2 \times 20$ ‍
Para $3$ ‍ globos, el precio es $20 = 3 \times 20$ ‍
$\dots$ ‍
Para $x$ ‍ globos, el precio es
$F (x) = (x) (20) \Rightarrow F (x) = 20 x$ ‍

Por tanto, una posible representación algebraica de esta situación es

F (x) = 20 x

Graficamos la relación $F (x) = 20 x$ ‍.

Para graficar la relación

F

, que como se observó en lecciones anteriores, representa a una función, utilizamos los valores asignados para la cantidad de globos. Observa:

Cantidad	1	2	3	4	$\dots$ ‍
Precio	$F (1) = 20$ ‍	$F (2) = 40$ ‍	$F (3) = 60$ ‍	$F (4) = 80$ ‍	$\dots$ ‍

Estos valores se pueden asociar a los pares ordenados de la siguiente forma

(1; 20)

;

(2; 40)

;

(3; 60)

;

(4; 80)

;

\dots

Los cuales se ubican en el plano de coordenadas rectangulares.

Este gráfico muestra parte de la representación gráfica de la función. Estrictamente, este gráfico es un gráfico de puntos.

Situación 2

La empresa de telefonía celular ALÓ, proporciona una nueva oferta.

Un pago fijo de $30$ ‍ dólares mensuales, que incluye $150$ ‍ minutos para llamadas.
Se cobrará $0.20$ ‍ dólares por cada minuto adicional a los $150$ ‍ minutos incluidos en el pago de $30$ ‍ dólares.

Muestra una representación gráfica de la función que representa el pago (en dólares) por

x

minutos de llamadas.

Resolución

Vamos a dividir la oferta en dos condiciones que nos permita elaborar de forma más simple el gráfico de la función.

Para la condición 1: Un pago fijo de $30$ ‍ dólares mensuales, que incluye $150$ ‍ minutos para llamadas.

Sea

x

la cantidad de minutos disponibles para las llamadas, se entiende que

x

se encuentra entre

0

150

, inclusive. Esta restricción es el dominio de la función que modela la oferta 1. Así, se plantea la expresión:

f (x) = 30; 0 \leq x \leq 150

Para la condición 2: Se cobrará $0.20$ ‍ dólares por cada minuto adicional a los $150$ ‍ minutos incluidos en el pago de $30$ ‍ dólares.

Sea

x

la cantidad de minutos disponibles para las llamadas, se entiende que

x

es mayor a

150

. Esta restricción es el dominio de la función que modela la oferta 2. Así, se plantea la expresión:

g (x) = 30 + 0.20 (x - 150); x > 150

Primera forma

Ya que nos piden un esbozo, es decir, una aproximación al gráfico de la función, nos guiamos de la pendiente de las funciones

f

g

, representados por

m_{1}

m_{2}

respectivamente.

\begin{aligned} f (x) = 30; 0 \leq x \leq 150 \Rightarrow m_{1} = 0 \\ g (x) = 30 + 0.20 (x - 150); x > 150 \Rightarrow m_{2} = 0.20 \end{aligned}

Donde se observa que

m_{2} > m_{1}

, por tanto el gráfico es el siguiente:

Utilizamos la noción de pendiente de la recta que representa a la función para obtener la gráfica de funciones lineales de la forma

f (x) = m x + a

Si $m = 0$ ‍, la función se expresa como $f (x) = a$ ‍, cuya gráfica es una línea recta paralela al eje de las abscisas.
Si $m \neq 0$ ‍, es decir que $m < 0$ ‍ o $m > 0$ ‍, la recta que representa a la función puede tomar 2 posiciones.
En el caso de al función $f$ ‍, el gráfico es una línea recta horizontal que va desde 0 hasta 150. A partir del minuto 150, la pendiente de la recta es mayor, por tanto la función será creciente.

Observa.

Esta figura respresenta el esbozo de la función sin considerar valores precisos para su representación gráfica.

Segunda forma

Para graficar la función, podemos utilizar una sola representación algebraica de la función, analizando las representaciones de

f

g

de la primera forma.

Como en la situación se menciona que hay un cargo fijo de

30

dólares y se cobra

0.20

dólares por minuto adicional a los

150

minutos establecidos, planteamos:

f (x) = {\begin{cases} 30 & si 0 \leq x \leq 150 \\ 30 + 0.20 (x - 150) & si x > 150 \end{cases}

Luego, asignamos valores a

x

y obtenemos su correspondiente

f (x)

. Observa la tabla que se ha elaborado con algunos valores de

x

Minutos	0	50	150	200
Pago	30	30	30	40

Donde se obtiene los pares ordenados

(0; 30)

(50; 30)

(150; 30)

(200; 40)

. El gráfico es el que se muestra a continuación:

Situación 3

Claudia construye figuras geométricas usando palitos de madera del mismo tamaño. Para cada lado del triángulo equilátero utiliza un palito. Las figuras que construye las ubica en fila, como se observa en la figura:

a) Su compañero Julio afirma: “En la figura 4, Claudia ha usado 9 palitos de madera, entonces, por regla de tres simple, en la figura 8 usará el doble; o sea 18 palitos de madera”.

a) ¿La proposición expresada por Julio es verdadera o falsa? ¿Por qué?

b) Encuentra una expresión algebraica que permita obtener el número de palitos que tendrá la figura “n” de la secuencia.

Resolución

Utilizamos una tabla para resumir nuestro análisis

Figura	1	2	3	4	$\dots$ ‍
Cantidad de palitos	3	5	7	9	$\dots$ ‍

Buscamos la relación entre la cantidad de palitos que hay en cada figura

\begin{aligned} Figura 1 : 2 \times 1 + 1 = 3 \\ Figura 2 : 2 \times 2 + 1 = 5 \\ Figura 3 : 2 \times 3 + 1 = 7 \\ Figura 4 : 2 \times 4 + 1 = 9 \\ ⋮ \\ Figura x : f (x) = 2 \times x + 1 \end{aligned}

Por tanto, la cantidad de palitos de cada figura está dada por la siguiente relación:

f (x) = 2 x + 1; x \in N

c) ¿Cuántos palitos de madera usaría Claudia al construir la figura $548$ ‍? ¿Por qué?

d) Determina qué lugar en la fila ocuparía la figura que construya Claudia con exactamente

675

palitos de madera.

e) Representa en el plano cartesiano la función obtenida en (b). Ten en cuenta el dominio de esa función.

Situación 4

El gasto en la cantidad

x

de insumos de la empresa

A

se calcula usando la función:

f (x) = \frac{9}{4} x + 20

En cambio, la empresa

B

gasta sus insumos según la función:

g (x) = \frac{4}{3} x + 50

a) ¿En cuál de las empresas el crecimiento del gasto es más “lento”?

Una forma de analizar el crecimiento del gasto de las empresas consiste en utilizar sus representaciones gráficas. Podemos asignar algunos valores de

x

para

f

g

, pero esta estrategia ya la vimos en las situaciones anteriores. Tú puedes intentarlo.

En este caso vamos a graficar cada una de las funciones guiándonos de sus pendientes y el intercepto de la recta que representa a la función con el eje de las ordenadas. Distinguimos estos elementos de cada función:

Para la empresa $A$ ‍:
$f (x) = \frac{9}{4} x + 20$ ‍
la pendiente es $m_{1} = \frac{9}{4}$ ‍ y su intercepto con el eje de ordenadas es $(0; 20)$ ‍ .
Para la empresa $B$ ‍:
$g (x) = \frac{4}{3} x + 50$ ‍
la pendiente es $m_{2} = \frac{4}{3}$ ‍ y su intercepto con el eje de ordenadas es $(0; 50)$ ‍ .

Observa que

m_{1} > m_{2}

y ambas pendientes son positivas. Con los datos anteriores, hacemos la representación gráfica de las funciones en un mismo sistema de coordenadas.

Del gráfico se observa que la empresa

B

tiene un crecimiento más "lento" de sus gastos.

Este resultado también se verifica analizando las pendientes, ya que

m_{1} > m_{2}

, por tanto, la función

f

"crece" más rápido que la función

g

b) ¿Es verdad que si cada una de las empresas compra más de $32$ ‍ unidades de insumos, la empresa $A$ ‍ gasta menos que la empresa $B$ ‍?

Lo que se afirma en este apartado es falso. Comprabamos nuestra respuesta haciendo

f (x) = g (x)

, ya que esto nos permitirá obtener el intercepto de las rectas que representan a las funciones

f

g

\begin{array}{r} \frac{9}{4} x + 20 = \frac{4}{3} x + 50 \\ 12 \times (\frac{9}{4} x + 20) = 12 \times (\frac{4}{3} x + 50) \\ 27 x + 240 = 16 x + 200 \\ x = 32.72 \end{array}

Por tanto, observando el gráfico del apartado (a) y el valor obtenido para

x = 32.72

, se desprende que para una cantidad de insumos mayores a

32.72

el gasto en la empresa

B

es menor que en la empresa

A

Podemos verificar esta afirmación asignando un valor particular para

x

en ambas funciones que sea mayor que

32.72

. Por ejemplo, para

x = 40

, evaluamos en cada una de las funciones:

Para $f$ ‍:
$f (40) = \frac{9}{4} \times 40 + 20 \Rightarrow f (40) = 110$ ‍
Para $g$ ‍:

f (40) = \frac{4}{3} \times 40 + 50 \Rightarrow g (40) \approx 103.3

Lo anterior verifica que la empresa

B

gasta menos que la empresa

A

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Alfonso Abimael Chulim Diaz
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “¿cuales serian sus raices...” de Alfonso Abimael Chulim Diaz
¿cuales serian sus raices de dichas situaciones?
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