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Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 5

Lección 7: Determinar la concavidad de intervalos y encontrar puntos de inflexión algebraicamente
Matemáticas
Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Aplicar derivadas para analizar funciones
Determinar la concavidad de intervalos y encontrar puntos de inflexión algebraicamente
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Analizar la segunda derivada para encontrar puntos de inflexión

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Aprende cómo la segunda derivada de una función se utiliza para encontrar sus puntos de inflexión. Aprende cuáles son los errores comunes a evitar en el proceso.
Podemos encontrar los puntos de inflexión de una función al estudiar su segunda derivada.

Ejemplo: encontrar los puntos de inflexión de f(x)=x5+53x4

Paso 1: encontrar la segunda derivada
Para encontrar los puntos de inflexión de f, tenemos que utilizar f″:
f′(x)=5x4+203x3f″(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
Paso 2: encontrar todos los candidatos
Como con los puntos críticos, estos son puntos donde f″(x)=0 o f″(x) está indefinida.
f″ es cero en x=0 y x=−1, y está definida para todos los números reales. Así que x=0 y x=−1 son nuestros candidatos.
Paso 3: analizar la concavidad
IntervaloValor x de pruebaf″(x)Conclusión
x<−1x=−2f″(−2)=−80<0f es cóncava hacia abajo ∩
−1<x<0x=−0.5f″(−0.5)=2.5>0f es cóncava hacia arriba ∪
x>0x=1f″(1)=40>0f es cóncava hacia arriba ∪
Paso 4: encontrar puntos de inflexión
Ahora que conocemos los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o hacia abajo, podemos encontrar sus puntos de inflexión (es decir, donde la concavidad cambia de dirección).
  • f es cóncava hacia abajo antes de x=−1, cóncava hacia arriba después de ese punto y está definida en x=−1. Así que f tiene un punto de inflexión en x=−1.
  • f es cóncava hacia arriba antes y después de x=0, así que no hay un punto de inflexión.
Podemos comprobar nuestro resultado al observar la gráfica de f.
Se grafica la función f . El eje x va de menos 4 a 4. La gráfica consiste en una curva. La curva empieza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba con inclinación decreciente hasta aproximadamente (menos 1.3, 1), se mueve hacia abajo con inclinación creciente hasta aproximadamente (menos 1, 0.7), continúa hacia abajo con inclinación decreciente hasta el origen, se mueve hacia arriba con inclinación creciente y termina en el cuadrante 1. El punto en (menos 1, 0.7), donde la gráfica cambia de moverse hacia abajo con inclinación creciente a moverse hacia abajo con inclinación decreciente es el punto de inflexión. La parte de la curva a la izquierda de este punto es cóncava hacia abajo, donde la curva se mueve hacia arriba con inclinación decreciente y luego hacia abajo con inclinación creciente. La parte de la curva a la derecha del punto de inflexión es cóncava hacia arriba, donde la curva se mueve hacia abajo con inclinación decreciente y luego hacia arriba con inclinación creciente.
Problema 1
A Olga se le pidió que encontrara dónde la función f(x)=(x−2)4 tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1:
f′(x)=4(x−2)3f″(x)=12(x−2)2
Paso 2: la solución de f″(x)=0 es x=2.
Paso 3: f tiene un punto de inflexión en x=2.
¿Es correcto el trabajo de Olga? Si no es así, ¿cuál es su error?
Escoge 1 respuesta:

Error común: no revisar los candidatos

Recuerda: no debemos suponer que cualquier punto donde f″(x)=0 (o donde f″(x) está indefinida) es un punto de inflexión. Más bien, debemos revisar nuestros candidatos para ver si la segunda derivada cambia de signo en esos puntos y si la función está definida ahí.
Problema 2
A Robert se le pidió que encontrara donde g(x)=Ax3 tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1:
g′(x)=13x−23g″(x)=−29x−53=−29Ax53
Paso 2: g″(x)=0 no tiene solución.
Paso 3: g no tiene ningún punto de inflexión.
¿Es correcto el trabajo de Robert? Si no es así, ¿cuál es su error?
Escoge 1 respuesta:

Error común: no incluir los puntos donde la derivada está indefinida

Recuerda: nuestros candidatos a puntos de inflexión son puntos donde la segunda derivada es igual a cero y los puntos donde la segunda derivada está indefinida. Ignorar los puntos donde la segunda derivada está indefinida a menudo resultará en una respuesta incorrecta.
Problema 3
A Tom se le pidió que encontrara dónde la función h(x)=x2+4x tiene puntos de inflexión. Esta es su solución:
Paso 1: h′(x)=2x+4.
Paso 2: h′(−2)=0, así que x=−2 es un posible punto de inflexión.
Paso 3:
IntervaloValor x de pruebah′(x)Veredicto
(−∞,−2)x=−3h′(−3)=−2<0h es cóncava hacia abajo ∩
(−2,∞)x=0h′(0)=4>0h es cóncava hacia arriba ∪
Paso 4: h es cóncava hacia abajo antes de x=−2 y cóncava hacia arriba después de x=−2, por lo que h tiene un punto de inflexión en x=−2.
¿Es correcto el trabajo de Tom? Si no es así, ¿cuál es su error?
Escoge 1 respuesta:

Error común: fijarse en la primera derivada en lugar de en la segunda

Recuerda: en la búsqueda de puntos de inflexión, siempre debemos analizar dónde es que la segunda derivada cambia de signo. Hacer esto para la primera derivada nos dará puntos de extremos relativos, no puntos de inflexión.
Problema 4
Sea g(x)=x4−12x3−42x2+7.
¿Para cuáles valores de x la gráfica de g tiene un punto de inflexión?
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