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Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 6

Lección 11: Reparto proporcional

Reparto proporcional

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Magnitudes directa e indirectamente proporcionales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás la noción y propiedades del reparto proporcional directo, inverso y compuesto, aplicado en diversas situaciones.

Situación 1

A continuación, vamos a reflexionar un poco sobre la noción de reparto proporcional, a partir de la siguiente situación:

Juan tiene 3 hijos de

6

8

9

años de edad. Para premiar su desempeño en la escuela, Juan quiere entregarles

667

figuritas del mundial de fútbol. Para que la entrega sea más justa, Juan reparte las figuritas proporcionalmente, de acuerdo a las edades de sus hijos.

Como las

667

figuritas se repartirán proporcionalmente a las edades de los hijos, podemos establecer la siguiente relación:

\begin{array}{r} \frac{Edad de cada hijo}{Suma de las edades de sus hijos} = \frac{Cantidad de figuritas para el hijo}{Cantidad total de figuritas} \end{array}

Considerando esta proporción, realizamos los cálculos:

Para el hijo de $6$ ‍ años: $\frac{6}{23} = \frac{x}{667}$ ‍, de donde $x = 174$ ‍.
Para el hijo de $8$ ‍ años: $\frac{8}{23} = \frac{y}{667}$ ‍, de donde $x = 232$ ‍.
Para el hijo de $9$ ‍ años: $\frac{9}{23} = \frac{z}{667}$ ‍, de donde $x = 261$ ‍.

Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla,

Donde se observa que al hijo de

6

años le corresponden

174

figuritas, al de

8

años

232

y al de

9

años

261

figuritas.

El tipo de reparto que se aplicó en este caso es un reparto proporcional directo.

Reparto proporcional directo

Es un procedimiento que consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades llamadas índices o números repartidores.

Observa que la cantidad de figuritas que recibe cada uno de los hijos de Juan, es directamente proporcional a su edad, siendo en este caso la constante de proporcionalidad directa igual a

29

Situación 2

Volvamos a leer la Situación 1 y ahora pensemos:

¿Qué pasaría si el padre hubiera decidido repartir las $667$ ‍ figuritas en partes inversamente proporcionales a las edades de sus hijos? ¿Cuántas figuritas recibiría cada uno de ellos?

Como en esta nueva situación las

667

figuritas se repartirán de manera inversamente proporcional a las edades de los hijos, entonces serán proporcionales a :

\frac{1}{6}

;

\frac{1}{8}

\frac{1}{9}

cuya suma es igual a:

\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{29}{72}

Tenemos entonces que:

\begin{array}{r} \frac{Inverso de la edad de cada hijo}{Suma de los inversos de las edades de sus hijos} = \frac{Cantidad de figuritas para el hijo}{Cantidad total de figuritas} \end{array}

Considerando esta proporción, realizamos los cálculos:

Para el hijo de $6$ ‍ años: $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{29}{72}} = \frac{x}{667}$ ‍, de donde $x = 276$ ‍.
Para el hijo de $8$ ‍ años: $\frac{\frac{1}{8}}{\frac{29}{72}} = \frac{y}{667}$ ‍, de donde $y = 207$ ‍.
Para el hijo de $9$ ‍ años: $\frac{\frac{1}{9}}{\frac{29}{72}} = \frac{z}{667}$ ‍, de donde $z = 184$ ‍.

Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla

Figuritas	667	276	207	184
Edad	$23$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$9$ ‍

Donde se observa que al hijo de

6

años le corresponden

276

figuritas, al de

8

años

207

y al de

9

años

184

figuritas.

El tipo de reparto que se aplicó en este caso es un reparto proporcional inverso.

Reparto proporcional inverso

Es un procedimiento que consiste en repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a otras cantidades llamados índices o números repartidores.

Situación 3

Tatiana desea repartir

840

canicas de diferentes colores entre sus tres hermanos Fiorella, César y Martha de

12

15

18

años de edad, respectivamente. Cada hermano tiene ya una cantidad inicial de canicas. Observa:

Fiorella: $40$ ‍ canicas.
César: $45$ ‍ canicas.
Martha: $60$ ‍ canicas.

Dado que el reparto debe ser lo más justo posible, Tatiana propone repartir las canicas de tal forma que sea directamente proporcional (DP) a las edades de los hermanos, pero también inversamente proporcional (IP) al número de canicas que ya tiene cada uno de ellos.

¿Cuál de sus tres hermanos recibe la mayor cantidad de canicas?

Resolución

Para realizar el reparto propuesto por Tatiana, ordenamos los datos en una tabla:

	Edad	Canicas al inicio	Canicas repartidas
Fiorella	$12$ ‍	$40$ ‍	A
César	$15$ ‍	$45$ ‍	B
Martha	$18$ ‍	$60$ ‍	C

Ya que el reparto será DP a la edad e IP a la cantidad de canicas, eso significa que las canicas se repartirán de forma directamente proporcional al producto de cada edad por el inverso multiplicativo de la cantidad de canicas de cada uno, es decir, a los números:

\begin{aligned} 12 \times \frac{1}{40} = \frac{3}{10} \\ 15 \times \frac{1}{45} = \frac{1}{3} \\ 18 \times \frac{1}{60} = \frac{3}{10} \end{aligned}

Homogeneizamos las tres fracciones, utilizando el común denominador:

Se tiene entonces los números:

\frac{9}{30}; \frac{10}{30}; \frac{9}{30}

Observa que como se debe repartir

840

canicas en partes directamente proporcionales a

\frac{9}{30}; \frac{10}{30}; \frac{9}{30}

, es suficiente repartirlas proporcionalmente a

9

10

9

Considerando esta proporción y a

A

B

C

como las cantidades de canicas que recibe cada hermano, realizamos los cálculos:

Para el hermano de $12$ ‍ años: $\frac{9}{28} = \frac{A}{840}$ ‍, donde $A = 270$ ‍.
Para el hermano de $15$ ‍ años: $\frac{10}{28} = \frac{B}{840}$ ‍, donde $A = 300$ ‍.
Para el hermano de $18$ ‍ años: $\frac{9}{28} = \frac{C}{840}$ ‍, donde $A = 270$ ‍.

Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla:

	Edad	Canicas al inicio	Canicas repartidas
Fiorella	$12$ ‍	$40$ ‍	$270$ ‍
César	$15$ ‍	$45$ ‍	$300$ ‍
Martha	$18$ ‍	$60$ ‍	$270$ ‍

Reparto proporcional compuesto

Cuando el reparto de una cantidad es compuesto, es decir, directamente proporcional a ciertos números y directa (o inversamente) proporcional a otros, basta hacerlo directamente proporcional al producto de los primeros por los segundos (o por su inverso).

Veamos más ejemplos

A continuación mostramos algunos ejemplos en donde se hace uso de la proporcionalidad directa, inversa o compuesta. Presta mucha atención a las condiciones propuestas en cada situación.

Ejemplo 1

Pablo reparte cierta cantidad de dinero entre sus

3

herederos en partes proporcionales a la cantidad de hijos que tiene cada uno de ellos. Así, el primer heredero tiene

3

hijos; el segundo tiene

4

y el tercer heredero tiene

5

hijos. Si el tercer heredero ha recibido

600

dólares más que el primero. ¿Cuánto dinero distribuyó Pablo en total?

Tal como se observó en la Situación 1, planteamos la relación:

\begin{array}{r} \frac{Cantidad de hijos de cada heredero}{Total de hijos de los 3 herederos} = \frac{Cantidad que recibe de la herencia}{Total de la herencia} \end{array}

Sean

A

B

C

las cantidades que recibe cada heredero. Luego, proponemos las siguientes relaciones considerando a

x

como el monto total de la herencia a repartir.

Para el primer heredero:

\frac{3}{12} = \frac{A}{x} \Rightarrow x = 4 A

Para el tercer heredero:

\frac{5}{12} = \frac{A + 600}{x}

Reemplazamos

x = 4 A

en la segunda ecuación.

\begin{aligned} \frac{5}{12} = \frac{A + 600}{x} & \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{A + 600}{4 A} \\ \Rightarrow 5 A = 3 A + 1,800 \\ \Rightarrow A = 900 \end{aligned}

Finalmente, dado que

x = 4 A \Rightarrow x = 4 \times 900 = 3,600

, Pablo distribuyó

3,600

dólares entre sus tres herederos.

Ejemplo 2

El dueño de una empresa decide repartir

5,610

dólares entre sus empleados Marcial, Fátima y Ricardo, de tal forma que el reparto sea inverso al número de días que han faltado a lo largo del año, que han sido, respectivamente,

12

18

20

días. ¿Cuánto es lo que recibe cada empleado?

Tal como se observó en la Situación 2, planteamos la relación:

\begin{array}{r} \frac{Inversa de la cantidad de días que faltó}{Suma de inversas de los días que faltaron} = \frac{Cantidad que recibe el empleado}{Cantidad total a repartir} \end{array}

Sea

x

y

z

las cantidades que recibe cada empleado.

Además la suma de las inversas de los días que faltaron es:

\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} = \frac{17}{90}

Luego, proponemos las siguientes relaciones:

Para Marcial:

\begin{aligned} \frac{\frac{1}{12}}{\frac{17}{90}} = \frac{x}{5610} & \Rightarrow \frac{90}{12 \times 17} = \frac{x}{5610} \\ \Rightarrow x = 2,475 dólares \end{aligned}

Para Fátima:

\begin{aligned} \frac{\frac{1}{18}}{\frac{17}{90}} = \frac{y}{5610} & \Rightarrow \frac{90}{18 \times 17} = \frac{y}{5610} \\ \Rightarrow y = 1,650 dólares \end{aligned}

Para Ricardo:

\begin{aligned} \frac{\frac{1}{20}}{\frac{17}{90}} = \frac{z}{5610} & \Rightarrow \frac{90}{20 \times 17} = \frac{z}{5610} \\ \Rightarrow z = 1,485 dólares \end{aligned}

Ejemplo 3

Carlos y Sara son dos hermanos de

15

10

años de edad, respectivamente, que ayudan a su padre a construir una pared en su casa. En total, ambos colocaron

47

ladrillos, de los cuales Carlos colocó

29

y Sara

18

. Como retribución por ayudar en este trabajo, su padre les ofrece

50

dólares que repartirá en forma directamente proporcional a la cantidad de ladrillos que cada uno colocó y a su vez inversamente proporcional a su edad. ¿Es cierto que Sara recibió más dinero que Carlos?

Tal como se observó en la Situación 3, ordenamos los datos y planteamos las relaciones. La cantidad de

50

dólares se repartirá de forma:

Directamente proporcional (DP) a la cantidad de ladrillos colocados: $29$ ‍ para Carlos y $18$ ‍ para Sara.
Inversamente proporcional (IP) a la edad de los hermanos: $15$ ‍ para Carlos y $10$ ‍ para Sara.

Para cumplir con el reparto, es suficiente repartir el dinero en forma directamente proporcional al producto de la cantidad de ladrillos colocados por el inverso de la edad de cada hermano. Observa.

\begin{aligned} 29 \times \frac{1}{15} = \frac{29}{15} \\ 18 \times \frac{1}{10} = \frac{9}{5} \end{aligned}

Homogeneizamos las fracciones usando el común denominador y obtenemos los números

\frac{29}{15} y \frac{27}{15}

Observa que como se debe repartir

50

dólares en partes directamente proporcionales a

\frac{29}{15} y \frac{27}{15}

, basta repartirlas proporcionalmente a

29

27

Considerando esta proporción y denominando

A

B

al dinero que recibe cada hermano, realizamos los cálculos:

Para Carlos de $15$ ‍ años: $\frac{29}{56} = \frac{A}{50}$ ‍,

de donde,

A \approx 25.9

dólares.

Para Sara de $10$ ‍ años: $\frac{27}{56} = \frac{B}{50}$ ‍,

de donde,

B \approx 24.1

dólares.

Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla

	Edad	Bloques	Dinero
Carlos	$15$ ‍	$29$ ‍	$25.9$ ‍
Sara	$10$ ‍	$18$ ‍	$24.1$ ‍

Finalmente, no es cierto que Sara recibió más dinero que Carlos.

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sele.alarcon98
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “La empresa “Nuevo Mundo” ...” de sele.alarcon98
La empresa “Nuevo Mundo” entrega mensualmente una bonificación entre sus empleados. Este mes tiene 595595595 dólares para repartir entre sus tres secretarios en forma directamente proporcional a sus puntajes de evaluación e inversamente proporcional a los minutos de tardanza que acumularon este mes. El reporte es el siguiente:
Secretaria Puntaje de evaluación Tardanza
María 180 60
Fabiana 240 150
Alejandro 200 60
¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben María y Alejandro?
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(8 votos)
Respuesta
LK Np C VR
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “nose si entendi bien, per...” de LK Np C VR
nose si entendi bien, pero como seria un reparto proporcional si ambos son directos o si ambos son inversos?
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