como es que google sabe todo , y la persona que lo a creado sabia de todo lo existencial que uno puede hacer

Es una red y por lo tanto hay cientos de personas que lo saben todo el solo creo el portal

Contenido principal

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 1

Lección 3: Relaciones y operaciones entre conjuntos

Relaciones y operaciones entre conjuntos (Leyes del álgebra de conjuntos)

Google Classroom

Relaciones y operaciones entre conjuntos (leyes del álgebra de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás algunas relaciones asociadas a las operaciones entre conjuntos (unión, intersección, complemento y diferencia).

Complemento de un conjunto

Vamos a iniciar esta lección estudiando la operación denominada complemento de un conjunto.

Ten en cuenta que esta operación tiene una notación muy particular. Por ejemplo, para denotar el complemento del conjunto

A

se escribirá

A^{c}

¿Qué quiere decir $A^{c}$ ‍?

El complemento de un conjunto

A

, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal

(U)

, pero no al conjunto

A

Es el conjunto que sirve de referente para una situación particular. Este conjunto contiene a todos los elementos que están sujetos a las condiciones de la situación. No existe una conjunto universal absoluto.

Se denota al conjunto universal por

U

. Veamos algunos ejemplos:

Para los conjuntos:
$A = {1, 3, 5, 7, 9}$ ‍ y $B = {2, 4, 6, 8}$ ‍, se puede proponer al conjunto $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ ‍ como conjunto universal.

Ciertamente podemos proponer otro conjunto, pero puedes darte cuenta que

U

debe contener al menos a todos los elementos de los conjuntos que se desprenden de él.

Para el conjunto de los números pares $M = {0, 2, 4, 6, 8, \dots}$ ‍, se puede considerar que su conjunto universal (de referencia) es $N$ ‍, que es el conjunto de los números naturales.

Ahora, podemos utilizar símbolos para definir el complemento de

A

A^{c} = {x / x \in U y x \neq A}

También, se puede entender

A^{c}

como:

A^{c} = U - A

Veamos algunos ejemplos

Para los siguientes conjuntos, considera como conjunto universal a

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ejemplo 1

A = {2, 4, 6, 8, 10}

se tiene que

A^{c} = {1, 3, 5, 7, 9}

Ejemplo 2

B = {1, 3, 5}

se tiene que

B^{c} = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

Ejemplo 3

C = {4, 6, 7, 8, 9, 10}

se tiene que

C^{c} = {1, 2, 3, 5}

Diferencia de conjuntos

Vamos a continuar esta lección recordando la operación denominada Diferencia de conjuntos.

La diferencia entre dos conjuntos, por ejemplo,

A

B

, se denota así:

A - B

¿Qué quiere decir $A - B$ ‍?

Dados dos conjuntos

A

B

, se entiende al conjunto diferencia, denotado como

A - B

, al conjunto de todos los elementos que están en

A

y no están en

B

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Sean los conjuntos:

$A = {1, 3, 5, 7}$ ‍
$B = {2, 3, 4, 5}$ ‍

Se observa que los elementos que están en

A

, pero no están en

B

son

1

7

. Por tanto, el conjunto diferencia es

A - B = {1, 7}

Este nuevo conjunto se puede representar mediante diagramas de Venn. Observa:

Si queremos obtener

B - A

, tomamos los elementos de

B

que no están en

A

. Estos son

2

4

. Entonces:

B - A = {2, 4}

Este nuevo conjunto se puede representar mediante diagramas de Venn de la siguiente manera:

Luego, podemos afirmar en este caso

A - B \neq B - A

Propiedades de la diferencia de conjuntos

Al resolver situaciones relacionadas a diferencia de conjuntos, se establece las siguientes propiedades.

Sean los conjuntos

A

B

C

, se cumple:

\begin{aligned} A - B = A \cap B^{c} \\ (A \cap B) - C = (A - C) \cap (B - C) \\ A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C) \end{aligned}

Estas y otras propiedades se aplicarán en la simplificación de operaciones entre conjuntos.

Leyes del álgebra de conjuntos

A continuación, mostramos algunas propiedades asociadas al álgebra de conjuntos:

Idempotencia

$A \cup A = A$ ‍
$A \cap A = A$ ‍

Conmutativa

$A \cup B = B \cup A$ ‍
$A \cap B = B \cap A$ ‍

Asociativa

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ‍
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ‍

Distributiva

\begin{aligned} A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{aligned}

Ley De Morgan

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ ‍
$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ ‍

Ley de la diferencia simétrica

$A △ B = (A - B) \cup (B - A)$ ‍
$A △ B = (A \cup B) - (B \cap A)$ ‍

Del complemento

$A \cup A^{c} = U$ ‍
$A \cap A^{c} = \emptyset$ ‍
$(A^{c})^{c} = A$ ‍
$U^{c} = \emptyset$ ‍
$\emptyset^{c} = U$ ‍

De la absorción

$A \cup (A \cap B) = A$ ‍
$A \cap (A \cup B) = A$ ‍
$A \cup (A^{c} \cap B) = A \cup B$ ‍
$A \cap (A^{c} \cup B) = A \cap B$ ‍

A continuación, vamos a comprobar algunas de estas leyes, utilizando ejemplos.

Idempotencia

Vamos a comprobar la ley

A \cup A = A

Consideramos al conjunto

A = {3, 7, 11}

para obtener

A \cup A

, el cual se obtiene de la reunión de los elementos del conjunto

A

. Observa.

\begin{aligned} A \cup A & = {3, 7, 11} \cup {3, 7, 11} \\ = {3, 7, 11, 3, 7, 11} \\ = {3, 7, 11} \\ = A \end{aligned}

Por tanto,

A \cup A = A

Conmutativa

Vamos a comprobar la ley

A \cap B = B \cap A

Sea

A = {m, n, p, r, t, s}

B = {a, b, c, m, p}

, por lo que

A \cap B

se obtiene identificando los elementos comunes entre

A

B

. Observa.

\begin{aligned} A \cap B & = {m, n, p, r, t, s} \cap {a, b, c, m, p} \\ = {m; p} \\ B \cap A & = {a, b, c, m, p} \cap {m, n, p, r, t, s} \\ = {m; p} \end{aligned}

Por tanto,

A \cap B = B \cap A

Distributiva:

Vamos a comprobar la ley

\begin{array}{r} A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}

Para esto, vamos a considerar los siguientes conjuntos:

\begin{aligned} A & = {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1} \\ B & = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3} \\ C & = {- 5, - 2, - 1, 3, 4} \end{aligned}

Utilizamos diagramas de Venn para comprobar que:

\begin{array}{r} A \cup (B \cap C) = {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 3} \end{array}

Primero obtenemos la intersección de

B

C

que es

{- 3; - 2; - 1}

. Luego, obtenemos la unión con

A

. De esa forma obtenemos

{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 3}

Observa el diagrama de Venn:

Utilizamos diagramas de Venn para comprobar que:

\begin{array}{r} A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}

Primero obtenemos la unión de

A

B

, que nos da:

{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}

Lo mismo hacemos para obtener

A \cup C

que nos da:

{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 3, 4}

Finalmente, se obtiene la intersección de estos dos conjuntos resultantes, lo que nos da:

{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 3}

Observa el diagrama de Venn:

De forma similar, podemos comprobar las otras leyes del álgebra de conjuntos.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Simplificar la operación, haciendo uso del álgebra de conjuntos.

(A \cup B \cup C)^{c}

Resolución

Vamos a aplicar la ley de Morgan,

(A \cup B \cup C)^{c} = A^{c} \cap (B \cup C)^{c}

Ahora, volvemos a aplicar la ley de Morgan para

(B \cup C)^{c}

\begin{aligned} (A \cup B \cup C)^{c} & = A^{c} \cap (B \cup C)^{c} \\ = A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c} \end{aligned}

Por tanto, la expresión simplificada es

A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}

, es decir:

(A \cup B \cup C)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}

Ejemplo 2

Comprueba la siguiente equivalencia:

(A \cap C) - B = A \cap C \cap B^{c}

Resolución

La comprobación es directa si recordamos la propiedad de la diferencia:

X - Y = X \cap Y^{c}

Veamos,

\begin{aligned} (A \cap C) - B & = (A \cap C) \cap B^{c} \\ = A \cap C \cap B^{c} \end{aligned}

Por tanto,

(A \cap C) - B = A \cap C \cap B^{c}

Ejemplo 3

Comprueba la siguiente equivalencia:

(A - B) \cap (A - C) = A - (B \cup C)

Resolución

Primero aplicamos la propiedad de la diferencia $X - Y = X \cap Y^{c}$ ‍ y luego la propiedad asociativa.

Veamos,

\begin{aligned} (A - B) \cap (A - C) & = (A \cap B^{c}) \cap (A \cap C^{c}) \\ = (A \cap A) \cap (B^{c} \cap C^{c}) \end{aligned}

Ahora, dado que

A \cap A = A

B^{c} \cap C^{c} = (B \cup C)^{c}

, tenemos:

\begin{aligned} (A - B) \cap (A - C) & = (A \cap A) \cap (B^{c} \cap C^{c}) \\ = A \cap (B \cup C)^{c} \end{aligned}

Finalmente, por la propiedad de la diferencia de conjuntos en su versión

X \cap Y^{c} = X - Y

\begin{aligned} (A - B) \cap (A - C) & = A \cap (B \cup C)^{c} \\ = A - (B \cup C) \end{aligned}

Por tanto,

(A - B) \cap (A - C) = A - (B \cup C)

Ejemplo 4

Marcelo afirma que:

(A \cap B) \cup (A - B) = A

¿Es cierto lo que afirma Marcelo?

Resolución

Vamos a simplificar la expresión para verificar la validez de lo afirmado por Marcelo.

Recordamos la propiedad de la diferencia de conjuntos:

A - B = A \cap B^{c}

y procedemos a simplificar:

\begin{array}{r} (A \cap B) \cup (A - B) = \underset{―}{(A \cap B) \cup (A \cap B^{c})} \end{array}

Ahora, si observamos con mucho cuidado, se desprende por la propiedad absorvente que

\begin{array}{r} (A \cap B) \cup (A \cap B^{c}) = A \cap (B \cup B^{c}) \end{array}

Ahora bien, dado que

B \cup B^{c} = U

A \cap U = A

se finaliza la resolución:

\begin{aligned} (A \cap B) \cup (A \cap B^{c}) & = A \cap (B \cup B^{c}) \\ = A \cap U \\ = A \end{aligned}

Es decir:

\begin{array}{r} (A \cap B) \cup (A - B) = A \end{array}

Por tanto, lo que afirma Marcelo es cierto.

Compruebo mi comprensión

Situación 1

Juana afirma que se cumple la siguiente igualdad:

\begin{array}{r} C - (A \cup B) = A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c} \end{array}

¿Es cierto lo que afirma Juana?

Situación 2

Simplifica la siguiente expresión:

\begin{array}{r} A - (B \cap C) \end{array}

Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?

Recordemos la propiedad de la diferencia de conjuntos:

A - B = A \cap B^{c}

y procedemos a simplificar

\begin{array}{r} A - (B \cap C) = A \cap (B \cap C)^{c} \end{array}

Ahora, aplicamos la propiedad del complemento:

(X \cap Y)^{c} = X^{c} \cup Y^{c}

\begin{aligned} A - (B \cap C) & = A \cap (B \cap C)^{c} \\ = A \cap (B^{c} \cup C^{c}) \end{aligned}

Luego, por la propiedad distributiva y la propiedad del complemento:

\begin{aligned} A - (B \cap C) & = A \cap (B \cap C)^{c} \\ = A \cap (B^{c} \cup C^{c}) \\ = (A \cap B^{c}) \cup (A \cap C^{c}) \end{aligned}

Ahora, por la propiedad de la diferencia:

X - Y = X \cap Y^{c}

\begin{aligned} A - (B \cap C) & = A \cap (B \cap C)^{c} \\ = A \cap (B^{c} \cup C^{c}) \\ = (A \cap B^{c}) \cup (A \cap C^{c}) \\ = (A - B) \cup (A - C) \end{aligned}

Finalmente,

\begin{array}{r} A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \end{array}

Situación 3

Simplifica la siguiente expresión:

\begin{array}{r} (A \cup B) \cap (A \cup B^{c}) \cap (A^{c} \cup B) \end{array}

Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?

Situación 4

Simplifica la siguiente expresión:

\begin{array}{r} (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} \end{array}

Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?

Recordemos las siguientes propiedades del complemento:

$(X \cap Y)^{c} = X^{c} \cup Y^{c}$ ‍
$(X^{c})^{c} = X$ ‍

Ahora, lo aplicamos en la expresión:

\begin{aligned} (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} & = (A \cap (B^{c} \cup (C^{c})^{c})) \cup ((A^{c} \cup B^{c})^{c} \cap C^{c}) \\ = (A \cap (B^{c} \cup C) \cup ((A^{c})^{c} \cap (B^{c})^{c}) \cap C^{c}) \\ = (A \cap (B^{c} \cup C) \cup (A \cap (B \cap C^{c})) \end{aligned}

Aplicando la propiedad de la absorción:

\begin{aligned} (X \cap Y) \cup (X \cap Z) = X \cap (Y \cup Z) \\ (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} & = (A \cap (B^{c} \cup C) \cup (A \cap (B \cap C^{c})) \\ = A \cap ((B^{c} \cup C) \cup (B \cap C^{c})) \\ = A \cap (B^{c} \cup \underset{―}{(C \cup (B \cap C^{c}))}) \end{aligned}

Ahora, aplicando la propiedad de la absorción:

\begin{aligned} X \cup (X^{c} \cap Y) = X \cup Y \\ (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} & = A \cap (B^{c} \cup \underset{―}{(C \cup (B \cap C^{c}))}) \\ = A \cap (B^{c} \cup C \cup B) \\ = A \cap ((B \cup B^{c}) \cup C) \end{aligned}

Luego, por las siguientes propiedades:

$B \cup B^{c} = U$ ‍
$X \cup U = U$ ‍
$X \cap U = X$ ‍

\begin{aligned} (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} & = A \cap ((B \cup B^{c}) \cup C) \\ = A \cap (U \cup C) \\ = A \cap U \\ = A \end{aligned}

Finalmente, se cumple que:

\begin{array}{r} (A \cap (B \cap C^{c})^{c}) \cup ((A^{c} \cup B^{c}) \cup C)^{c} = A \end{array}

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

aroni gamarra jireh joel
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “como es que google sabe t...” de aroni gamarra jireh joel
como es que google sabe todo , y la persona que lo a creado sabia de todo lo existencial que uno puede hacer
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(1 voto)
Respuesta
- David López
  Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Es una red y por lo tanto...” de David López
  Es una red y por lo tanto hay cientos de personas que lo saben todo el solo creo el portal
  Botón que navega a la página de registro
  (4 votos)

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Aritmética - Preparación Educación Superior

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 1

Relaciones y operaciones entre conjuntos (leyes del álgebra de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Complemento de un conjunto

¿Qué quiere decir Ac‍ ?

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Diferencia de conjuntos

¿Qué quiere decir A−B‍ ?

Ejemplo

Propiedades de la diferencia de conjuntos

Leyes del álgebra de conjuntos

Idempotencia

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Ley De Morgan

Ley de la diferencia simétrica

Del complemento

De la absorción

Idempotencia

Conmutativa

Distributiva:

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Resolución

Ejemplo 2

Resolución

Ejemplo 3

Resolución

Ejemplo 4

Resolución

Compruebo mi comprensión

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Qué quiere decir $A^{c}$ ‍?

¿Qué quiere decir $A - B$ ‍?