Problema de optimización: recta normal extrema de y=x²

me acaban de mandar este problema y es un problema bien padre mucho más jugoso de lo que se puede encontrar en los libros así que pensé que nos ayudaría a ti ya mí resolverlo es esos problemas que cuando lo ves de lejos hasta te duelen los ojos pero una vez que entiendes que pregunta es bastante interesante dice la curva en la siguiente figura es la parábola igual a equis cuadrada entonces esta curva es igual a equis cuadrada diremos que una recta es normal si es una recta cuya intersección con la parábola en el primer cuadrante es perpendicular a la parábola ok el de arriba a la derecha es el primer cuadrante entonces le pongo aquí uno y nos están diciendo que una recta normal es una recta cuya intersección con la parábola es perpendicular es decir si dibujamos aquí la tangente entonces la recta normal debe de ser perpendicular a esa tangente es todo lo que nos están diciendo esta es una recta normal le escribo por aquí normal ahora en la figura se muestran cinco rectas normales 1 2 3 4 y 5 muy bien y cada una de ellas si se ve perpendicular a la parábola en el primer cuadrante hasta ahorita nada raro por un rato la coordenada de x de la intersección en el segundo cuadrante de una recta normal con la parábola se hace más pequeña conforme la coordenada en x en el primer cuadrante se hace pequeña uff esta es una frase sota vamos a ver qué pasa cuando se va haciendo más pequeña la coordenada en x en el primer cuadrante vamos a la figura a ver si comienzo en este punto de por aquí la coordenada en x pues proyectando queda más o menos por aquí y conforme nos vamos moviendo hacia la izquierda digamos a este punto de acá que le sucedió a la recta normal o bueno más bien que le sucedió a la intersección de la recta normal en el segundo cuadrante estoy acá es el segundo cuadrante entonces para cuando tenía un valor mayor la recta normal interceptaba por acá en el segundo cuadrante pero luego cuando hacer que x a cero es decir cuando hice más pequeño el valor de x el segundo punto de intersección de por acá que venía de la normal en este punto se recorrió a la derecha pero aquí hay algo raro verdad porque en la oración nos dicen que la coordenada de x se hace más pequeña y no es realmente como que se esté haciendo más pequeña sino que se está haciendo menos negativa pero bueno creo que en la oración con más pequeñas se refieren a que va a ser más cercana a 0 o sea que es más pequeña en valor absoluto la coordenada se va pegando a 0 y eso como un número quiere decir que se hace más grande pero bueno en la oración se refieren a que cuando vamos moviendo hacia la izquierda el valor de x las coordenadas en x de las intersecciones de las rectas en el segundo cuadrante pues también se van pegando hacia el eje es decir se mueven hacia la derecha va sigamos pero eventualmente la intersección en el segundo cuadrante de una recta normal se hace lo más pequeña posible entonces en el dibujo vamos a seguir recorriendo hacia la izquierda hasta llegar a este punto de por acá la recta normal por este punto interfecta en el segundo cuadrante por aquí y luego si nos pasamos de ese punto las rectas normales comienzan a interceptar en el segundo cuadrante más y más a la izquierda entonces podemos pensar a la intersección de la recta extrema con la parábola como el punto que alcanza la coordenada en x más grande o dicho de otra forma la coordenada en valor absoluto más pequeña lo voy a volver a decir mira acá la derecha cuando teníamos valores muy grandes de x las intersecciones de las rectas normales también tenían x es muy grandes negativas pero conforme nos movemos a este punto la equis de la intersección es menos negativa podemos seguir hasta este punto de acá este punto hace una recta normal cuya intersección tiene el valor de x más grande posible pero a partir de allí si acercamos el punto más a cero entonces las rectas se empiezan a alejar en el segundo cuadrante yo creo que eso es a lo que se refieren ahora esta recta normal extrema se muestra con mayor grosor en la figura sí sí en efecto verdad aquí está marcada es más vamos a indicar la todavía más para acordarnos la voy a señalar y le voy a poner extrema después de este punto conforme nos acercamos más a cero las intersecciones en el segundo cuadrante se empiezan a alejar si quieres entender un poco más qué está pasando con el problema pues acércate todavía más a cero eso nos acerca el caso extremo donde la recta es perpendicular al eje x y por tanto la intersección queda bien bien alejada pero bueno vamos a acabar de leer el resto del problema una vez que las rectas normales pasan la recta extrema las coordenadas de x de la intersección con la parábola en el segundo cuadrante comienzan a aumentar otra vez verdad cuando dicen aumentar en realidad se están refiriendo a que son más negativas a lo mejor aquí debería de aclarar más negativas o sea son números que se hacen más grandes negativamente otra vez cuando pasamos el punto las coordenadas se empiezan a alejar del eje y sale vale la figura muestra dos pares de rectas normales si en efecto y ambas rectas de cada par tienen la misma intersección con la parábola en el segundo cuadrante pero una está sobre la recta extrema en el primer cuadrante y la otra está por debajo si por ejemplo la recta normal por este punto de por acá intercepta en el segundo cuadrante en este punto y luego si disminuimos y disminuimos el valor de x hasta pasar la recta normal llegamos a este punto que que no más bien a este punto cuya recta normal interfecta también en el mismo punto a la parábola en el segundo cuadrante bien espero estar aclarando t el problema mientras yo también me lo aclaró a mí mismo ahora sí vamos a las preguntas yo creo que solo nos va a dar tiempo de hacer el inciso a el otro lo dejamos para otro vídeo dice encuentra la ecuación de la recta normal extrema uff qué impactante se ve dificilísimo pero bueno no hay que preocuparnos nuestra caja de herramientas de derivación es súper amplia y seguro con alguna de esas va a salir manos a la obra comenzamos cuando encontrar la pendiente en cada punto a la gráfica para esto tenemos que tomar la derivada de igual a x al cuadrado simplemente que prima es igual a 2x esto de aquí es la pendiente de la tangente en cualquier punto x en x entonces si quisiera saber la pendiente en x0 en algún x particular simplemente diría lo voy a poner por aquí entonces nos quedaría 2x 0 es decir efe x 0 es igual a 2 veces x 0 esto va a ser la pendiente de la tangente en cualquier punto particular x 0 entonces pues a ver la pendiente de la recta normal es perpendicular está pendiente ahora esto ya lo vimos en otros vídeos para esto hay que cambiar el signo y voltearlo es decir la recta normal tiene pendiente la pendiente de la recta normal en x0 va a ser cambiarle el signo y ponerlo en denominador entonces sería igual a menos 1 entre 2 x 0 va ahora cuál es la ecuación de la recta normal por el punto x0 vamos a suponer que este de aquí es x0 y cuál va a ser la ecuación de la recta normal a y bueno pues simplemente podemos utilizar la fórmula de punto pendiente entonces este punto de aquí va a estar en la recta normal y es x 0 x 0 al cuadrado porque también sabemos que está en la parábola verdad en la parábola de igual a x al cuadrado entonces esta recta normal también va a tener el punto x 0 x 0 al cuadrado de esta forma la ecuación de la recta normal recta normal va a ser igual a voy a poner la forma que nos conviene cuando tenemos un punto y la pendiente es jay - la segunda coordenada o sea x0 al cuadrado es igual a la pendiente de la recta normal es decir menos 1 entre 2 veces x 0 x voy a poner aquí x menos el punto en la primera coordenada o sea x0 va esto de aquí es la ecuación de la recta normal entonces vamos a ver lo que nos importa es cuando x 0 es mayor que 0 verdad porque x 0 simplemente vive en el primer cuadrante entonces solo nos importan los valores del 0 a la derecha entonces la ecuación de la recta normal la podemos pues la podemos despejar un poco más bonito verdad la podemos poner como hoy en términos de x entonces si sumamos x 0 al cuadrado de ambos lados tenemos y es igual a déjame multiplicar esto de por aquí obtenemos menos 1 entre 2 veces x 0 x x y luego es menos por menos es más más verdad menos menos es más 1 entre 2 porque los equis ceros se cancelan vale luego tenemos que sumar este x 0 al cuadrado de ambos lados hasta horita lo único que he hecho es multiplicar esta parte verdad es esta llave naranja pero luego debo de sumar x 0 al cuadrado de ambos lados entonces es más x 0 elevado al cuadrado listo esto de aquí es la ecuación en forma estándar es decir en la cual ya está despejado aquí tenemos m el valor de la pendiente y esta de acá es la intersección en el eje y que se llama b ahora qué es lo que nos importa lo que nos importa es donde esta expresión esta recta intersecta a la parábola nuevamente verdad la parábola tiene una ecuación bien fácil simplemente es igual a x al cuadrado entonces lo que queremos hacer es encontrar las intersecciones de modo que tenemos que igualar ambos valores de g entonces los valores de x para los cuales se intersectan son aquellos valores en los cuales las que son iguales de modo que necesitamos que x al cuadrado sea igual a menos 1 entre 2 veces x 0 por x más un medio más x 0 al cuadrado listo ok vamos a poner esto en la forma general de una ecuación cuadrática para intentar utilizar la fórmula chicharronera entonces vamos a poner todo a la izquierda e igualarlo a cero tenemos x al cuadrado más 1 entre 2 x 0 x x menos un medio más x0 al cuadrado igual a cero va lo único que hice fue tomar toda esta expresión y pasarla a la izquierda pero esto de aquí ya es una ecuación cuadrática estándar entonces ahora podemos determinar cuáles son aquellos valores de x que anulan esta expresión y esto lo que nos diría es donde nuestra recta normal y la parábola se intersectan vale vamos a aplicar la fórmula chicharronera aquí entonces x es igual a tiene que ser menos b b es igual a 1 entre 2 x 0 entonces le pongo menos 1 entre 2 x 0 luego es más menos la raíz cuadrada de b cuadrada o sea esta expresión al cuadrado es 1 entre 4 x 0 al cuadrado menos 4 hace entonces vamos aquí hay uno que es esta expresión de aquí menos por menos se vuelve más entonces simplemente nos queda cuatro veces lo de la derecha más cuatro veces esta expresión cuatro veces esto es simplemente dos más cuatro veces x 0 al cuadrado lo único que hice fue poner 4 ha expresado pues ya de forma simplificada verdad el menos por menos se hace más y nos queda cuatro veces simplemente es 2 y esté más nos quedó feo más x 0 elevado al cuadrado va todo esto tenemos que dividirlo entre 2a y como es uno es entre 2 vamos a ver si podemos simplificar esta expresión recuerda lo que estamos haciendo simplemente estamos encontrando donde la recta normal y la parábola se intersectan va entonces que obtenemos pues parece feo verdad pero con un poco de suerte vamos a poder simplificarlo entonces vamos a factorizar vamos a factorizar me va a aparecer un truco de pero con un poco de práctica pues ya uno aprende a hacer este tipo de cosas entonces vamos a dividir todo entre dos primero nos queda menos 1 entre 4 x 0 simplemente dividir entre 2 el primer término verdad más menos un medio d y aquí tenemos que poner la raíz cuadrada de déjame ver qué puedo hacer con esto de aquí a ver si aquí en esta expresión factor hizo un pues digamos un 4 entre x0 al cuadrado se ve súper antinatural verdad pero ahorita vamos a ver por qué funciona este término de aquí sería un x a la 0 elevado a la cuarta más y ahora que le pasa al 2 el 2 se vuelve un medio x x 0 al cuadrado solo para verificarlo al multiplicar 4 por un medio nos queda 2 y x0 al cuadrado entre x 0 al cuadrado se vuelve uno de modo que la multiplicación nos da 2 y luego hay que sumar y pues si factor izamos esta expresión simplemente nos queda un dieciseisavo déjame moverme a la derecha ok vamos a cerrar la raíz puedes verificar que esto funciona si multiplicas esta expresión vas a ver que regresas a la primera entonces si multiplicas y desarrollas término a término pues a ver fíjate por aquí pues obtenemos lo mismo verdad ahora con un poco de suerte ya vamos a poder factorizar entonces la intersección de la recta normal y la parábola es igual a menos 1 entre 4 x 0 + menos un medio y la raíz cuadrada de esta expresión tenemos cuatro entre x0 al cuadrado y mira esta expresión de aquí es un binomio al cuadrado jaime vas a decir cómo le hice para ver eso y luego luego ahorita no me voy a meter en detalles pero fíjate es x0 al cuadrado más un cuarto al cuadrado si no me crees hace el binomio al cuadrado y vas a ver que regresas a esta expresión pero bueno ahí tenemos ya un cuadrado entonces va a ser fácil sacar la raíz cuadrada entonces obtenemos lo siguiente los puntos en los cuales intersectan la recta tangente y la parábola quien ya se hizo un poco largo este problema pero es menos 1 entre 4 x 0 más menos un medio de la raíz cuadrada de esto la raíz del primer término es 2 entre x 0 y la raíz del segundo es x 0 elevado al cuadrado más un cuarto va esto de aquí es igual a vamos a simplificar un poquito menos 1 entre 4 x 0 y luego nos queda más menos en un medio con el 2 se cancelan va ahí tenemos un 1 entonces es más menos 1 entre x 0 x x 0 al cuadrado entonces obtenemos 1 entre x 0 no deja mejor ya ponerlo de una vez que esté como x 0 entonces x 0 ahí están no voy a poner mejor con otro color para que veas que termino es entonces este término nos queda x 0 y luego tenemos uno más uno dividido entre 4 x 0 1 entre 4 x 0 va entonces estos de aquí son los dos puntos en los cuales la recta normal y la parábola intersectan déjame dejarlo muy claro estos dos puntos son en el dibujo este de aquí el x 0 verdad es este punto y este punto de acá ahora tenemos un + - entonces esta es la versión más y esta es la versión menos vamos a verificar que en efecto la versión más se simplifica para hacer x0 esto es algo que debería de pasar si todo tiene sentido en esta vida entonces vamos a obtener la versión con más a ver si realmente obtenemos x 0 entonces en el primer cuadrante x es igual a menos 1 entre 4 x 0 más x 0 + 1 entre 4 x 0 y esto tiene todo el sentido del mundo fíjate este menos con este más cancela simplemente nos queda x 0 y x0 es uno de los puntos de intersección lo cual tiene todo el sentido del mundo así fue como empezamos a definir el problema esto de aquí es en el primer cuadrante va entonces ahora sí vamos a la intersección en el segundo cuadrante eso va a ser para cuando tomemos - entonces nos queda x del segundo cuadrante es igual a menos 1 entre 4 x 0 - qué tal estamos en la versión de menos menos esta expresión menos x 0 -1 entre 4 x 0 no entre 4 x 0 sale ahora que tenemos vamos a tener estas dos cosas restadas podemos simplificar los nos queda menos x 0 y cuando juntamos dos menos uno cuartos nos queda un menos un medio entonces es menos 1 entre 2 x 0 vale ok entonces la coordenada en x de la intersección en el segundo cuadrante de la recta por x0 está dada por esta expresión voy a desplazarme un poco pues no quiero que se me acabe el espacio entonces x2 o sea la coordenada en x de la segunda intersección de la recta normal es igual a menos x 0 - 1 entre 2 veces x 0 muy bien vamos súper súper bien esto por sí mismo es un resultado padrísimo desafortunadamente todavía no hemos terminado con el problema lo siguiente que tenemos que hacer es encontrar aquel punto x0 que nos genere el punto extremo de intersección o bien que nos genere la recta extrema pues entonces esencialmente lo que queremos es encontrar x 0 nos da el valor de x de intersección más grande como le hacemos para determinar ese punto de intersección máximo a pues ya tenemos la intersección en el segundo cuadrante y está en función de la coordenada en x del punto de intersección en el primer cuadrante puesto como función nos queda igual a menos x 0 - 1 entre 2 x 0 esto va a alcanzar un punto crítico ya sea mínimo o máximo cuando su derivada sea igual a 0 ojo aquí las notaciones bien poco convencionales usualmente tenemos jesse x es ahorita lo que voy a hacer es derivar x2 con respecto a x 0 entonces x prima nx zero es igual a aquí tenemos que derivar verdad es menos 1 y luego hay que restar 1 / 2 x este es lo mismo que x 0 a la menos 1 entonces nos queda menos 1 por x 0 al menos dos simplemente derivamos verdad entonces esto es x 0 a la menos 1 una vez más el exponente baja y el exponente disminuye en un ok entonces esto de aquí es la derivada del segundo punto de intersección con respecto al primer punto de intersección voy a escribirlo por aquí abajo x2 evaluado en el primer punto de intersección y eso derivado con respecto a x0 o sea con respecto a la intersección en el primer cuadrante es igual a menos 1 y luego menos x menos da más entonces nos queda más un medio de bueno algo poner aquí x 0 al cuadrado ahora x 2 va a alcanzar un máximo un mínimo donde esto es igual a cero vale entonces vamos a resolver esta ecuación de aquí para encontrar cuál x0 nos va a ayudar a resolver el problema entonces sumando 1 tenemos 1 entre 2 x 0 al cuadrado es igual a 1 de modo que 2x 0 al cuadrado es igual a uno simplemente invertimos ambos lados de la ecuación o bien podemos poner que x 0 al cuadrado es igual a un medio dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuación y finalmente sacando raíz cuadrada obtenemos que x es igual a 1 / raíz de 2 tomamos la versión positiva de la raíz porque x 0 siempre es positivo bueno ya estamos a punto de acabar ya encontramos el valor de x0 que nos da nuestra recta normal extrema verdad déjame pintarlo con este color este valor de x0 ya sabemos que es x0 es igual a 1 entre raíz de 2 bueno ahora lo que queremos es encontrar la ecuación de la recta normal extrema y para encontrar esto ya nada más regresamos aquí a la izquierda a la ecuación general aquí a esto que estoy metiendo en un rectángulo y si queremos encontrar la recta normal que pasa por este punto extremo verdad este que ya encontramos que es 1 / raíz de 2 simplemente hay que sustituir este valor en la ecuación general que ya encontramos ahora sí ya estamos a punto de llegar a este aquí fue un problema está verdad pero tenemos menos x0 al cuadrado x 0 al cuadrado es un medio de nuestras raíces 2 al cuadrado es un medio eso de ahí es igual a menos 1 entre 2 veces x 0 vale entonces vamos a ser cuidadosos aquí tenemos un medio por 1 entre 1 entre raíz de 2 que es igual a raíz de 2 va todo eso x x menos x 0 x 0 es uno entre raíz de 2 vale excelente vamos a simplificar esto un poquito para ya obtener nuestra respuesta final de modo que la ecuación de la recta normal nos queda ya menos un medio es igual a a ver si aquí multiplicamos esto nos queda menos raíz de 2 entre 2 x verdad y luego si multiplicamos estos dos términos por el segundo sumando de este paréntesis tenemos a ver - con menos es más y nos queda un medio porque las raíces de 2 se cancelan listo ahora estoy aquí sí verdad ok entonces ya para terminar simplemente sumamos un medio de ambos lados de la ecuación que obtenemos pues obtenemos que la ecuación de la recta normal extrema es igual a menos raíz de 2 entre 2 x y cuando sumamos un medio de ambos lados obtenemos que queda más 1 listo uff esta de aquí es la ecuación de la recta normal extrema claro asumiendo que no metí la pata en las cuentas pero aunque esto haya pasado ahora tenemos una mucho mejor idea de cómo resolver este problema larguísimo