Estimación de series con integrales

supongamos que ese es el valor al cual esta serie converge vamos a suponer que esta serie de hecho converge en la definición de esta serie estamos suponiendo que cada término es una función que depende de n vamos a suponer que es una serie del mismo tipo de las que usamos cuando hicimos la prueba el integral es decir esta función es una función continua positiva y decreciente sobre el intervalo que nos interesa es entonces continua positiva y decreciente es una función continua positiva y decreciente déjame escribir lo mejor de la siguiente manera continua positiva y decreciente como esta el objetivo de este vídeo es ver si podemos establecer un rango para este valor lo cual es muy útil pues si bien hemos visto algunas series que convergen a un cierto valor hay muchísimas otras series que si bien convergen no podemos determinar de manera analítica el valor preciso al cual convergen lo vamos a tener que estimar por computadora o quizás a mano y es bueno contar con un rango de valores para que sepamos qué esa es nuestra estimación queremos también obtener la mejor estimación posible con el menor número de cálculos veamos cómo podemos hacer esto la manera de abordar esto es como bien puedes imaginar separar esta suma en una suma finita digamos de los primeros términos desde que en es igual a 1 hasta k df de n lo cual si en es pequeño y la forma de f simple es fácil de calcular inclusive a mano o lo que es seguro es que esto de cualquier manera siempre se puede calcular con una computadora ya está tenemos que sumarle una serie finita desde que n es igual a 1 desde que en es igual acá más 1 hasta infinito de f de n así es que si podemos establecer límites sobre esta serie esto nos va a permitir establecer límites sobre este valor pues este valor está constituido por la suma de la suma parcial de los primeros términos más un término denominado remanente que al sumarlo con la suma parcial nos da el valor real digamos que es lo que resta después de que tomamos esa suma parcial esta es una manera más simple de denotar este término la clave aquí es podemos establecer algún valor límite para esto y para eso voy a referirme a la gráfica y voy a utilizar las mismas ideas los mismos conceptos que empleamos para la prueba de la integral para empezar hay dos maneras de conceptualizar lo que representa esta suma en relación a esta gráfica como veremos puede representar una sobreestimación del área bajo la curva desde cierto valor de x hasta infinito o también puede representar una subestimación de una región diferente relacionada con la curva veamos primero el caso cuando el área se está subestimando supongamos entonces que este de aquí es que de hecho déjame hacerlo con otro color voy a ponerlo en amarillo supongamos entonces que estés este es uno estés acá más dos deja de ponerlo más cerca hamas dos camas tres y así y así sucesivamente así que una manera de conceptualizar esta suma es como la suma de los siguientes rectángulos así es que el primer término corresponde a esta área el área del primer rectángulo pues como podemos ver aquí la altura de este rectángulo es efe de camas uno es efe acá más uno y la base del rectángulo es uno así es que fedecámarás uno por uno es el área del rectángulo que corresponde precisamente al primer término cuando en es igual acá más uno ahora el segundo término por el mismo razonamiento corresponde al área del segundo rectángulo el tercer término al área del tercer rectángulo y así podríamos seguir con todos los términos sucesivos y cuál es entonces la suma de las áreas de todos estos rectángulos que corresponde a la suma de estos términos podemos considerarla como una estimación como una estimación del área bajo la curva entre x igual acá y x igual a infinito pero va a ser una subestimación observa que todos los rectángulos se encuentran contenidos dentro de esta región lo anterior quiere decir que entonces resulta va a ser menor o igual es una subestimación es una subestimación de la integral desde x igual acá hasta x igual infinito de fx de x y con esto ya tenemos un límite superior para ere de acá y esto es interesante porque ahora ya podemos establecer que si ese es es igual a la suma parcial más se reduzca y r sub que es menor o igual a esta integral entonces s es menor o igual a la suma parcial s su k más más la integral impropia desde que x es igual acá hasta que x es igual infinito de fx de x observa s es igual a esto ere sub k es menor que esta integral y propia entonces s es menor que la suma de estos dos términos así es que si podemos calcular el valor de estos dos términos que a menudo es posible hacerlo podemos poner un límite superior para el valor de s pero ahora como obtenemos un límite inferior bien podemos conceptualizar esta misma suma la misma rdk de tal manera que el primer rectángulo el primero de los rectángulos cuyas áreas vamos a sumar no es este de aquí sino es este rectángulo de acá observa tiene la misma altura pero lo hemos trasladado a una unidad a la derecha este rectángulo representa el segundo término este de aquí representa el tercer término y así y porque esto también es correcto el área del primer rectángulo es la altura que es efe de camas 1 también multiplicado por su base que es 1 lo cual nos da efe de camas 1 así es que esta área corresponde al primer término el segundo término estaría representado por esta área este es el área el tercer término esta es la del cuarto término y como mencionamos una mano considerar esto es que hemos trasladado todos los rectángulos que teníamos en amarillo una unidad a la derecha pero ahora estamos aproximando el valor de una región distinta estamos aproximando el área bajo la curva no desde acá hasta infinito sino desde acá más 1 hasta infinito y en vez de ser una subestimación es una sobreestimación ahora el área bajo la curva está contenida totalmente dentro de los rectángulos así es que ahora podemos establecer que eres uca bajo esta perspectiva es mayor o igual a la integral no desde acá sino desde acá más 1 hasta infinito de fx de equis y esto que nos lleva bien aquí estamos estableciendo un límite inferior para esto lo cual también nos da un límite inferior para esto sí hemos encontrado que esto es mayor que esto entonces esto de aquí es mayor que esto sustituyendo la integral impropia ahora tenemos que entonces ese es mayor o igual s sub acá más la integral impropia desde x igual a uno hasta x igual infinito de fx de x y aquí podrías decir oye sal esto es una locura aquí tienes esta anotación extraña además aparecen unas integrales que deben de ser muy complicadas de evaluar pero como veremos en próximos vídeos en muchas ocasiones estas integrales son simples de evaluar este término se evalúa directamente si k no es muy grande si llegara a ser muy grande se hace con una computadora y estas integrales quizás en ocasiones haya que evaluarlas numéricamente pero en muchas otras ocasiones es posible evaluar las de manera analítica es decir usando lo que podríamos denominar el poder del cálculo y lo que estamos haciendo aquí es establecer límites precisos para el valor hacia el cual la serie converge y como veremos a medida que crece el valor de k se hace mejor el valor de la estimación y el intervalo que contiene la estimación se va haciendo cada vez más pequeño otra manera de escribir estas dos desigualdades es con una desigualdad compuesta podemos escribir que s es menor o igual que esto de aquí déjame copiar copiar esto y pegar es menor o igual que esto y también y también que ese es mayor o igual que esto o esto es menor o igual que ese s es mayor o igual que esto de aquí voy a copiar pegar no eso es lo que quería ser déjame copiar y pegar ahora si en los siguientes vídeos vamos a aplicar esto que hemos establecido aquí veremos que en realidad está amenazadora expresión es fácil de calcular