Aplicar la regla de la cadena gráficamente 3 (antiguo)

considera las funciones efe junto con las gráficas que se muestran a continuación sijé mayúscula de x es igual al cubo de g minúscula compuesta con fx cuál es el valor de la derivada de g que es que prima evaluada en 5 muy bien entonces aquí nos dan estas dos gráficas la azules efe y la digamos roja o rosa que es más rosa que roja es que de x muy bien entonces vamos a ver cómo cómo resolver este problema o más bien te invito a que hagas una pausa y que pienses cómo hacerlo y después comparamos nuestras soluciones así que quede x lo podemos en realidad ver o bueno déjame reescribirlo esto es igual al cubo al cubo vamos a elevar al cubo lo que está aquí adentro que es la función g de x no bueno más bien es g evaluada no en x sino en fx que vamos a llamarle fx y la variable vamos a ponerla con blanco muy bien entonces ahora podríamos ver esta función simplemente como una triple composición si yo defino hdx igual a x al cubo entonces en realidad estamos componiendo h con g seguida de fx muy bien porque estamos elevando al cubo y en vez de poner x ponemos gdf x muy bien entonces lo que podemos hacer es que es escribir esto como gdx igual a h h seguida de todo esto que está aquí adentro vamos a vamos a tratar de copiarlo para no estar cambiando tanto de color copiar y pegamos muy bien entonces es esta composición correcto entonces si nosotros queremos digamos calcular la derivada de g entonces ponemos la derivada de g ok si vamos a ponerlo así respecto de nuestra variable x en realidad vamos a usar esta anotación que a lo mejor es un poco complicada y no es tan convencional pero es la verdad la verdad es muy útil y ahorita va a saber por qué entonces va a ser la derivada copiamos esto es exactamente lo mismo y pegamos entonces es la derivada de esto con respecto d lo que tenemos aquí adentro con respecto de gdf x muy bien con respecto de gdf x a copiar nuevamente y pegar ahí lo tienen y luego tenemos que hacer la multiplicación con la derivada justamente de lo mismo verdad de gdf de x parece ser que ya ahí tenemos la línea amarilla bueno aquí quizás no debía ir esta línea amarilla solo para que no se confundan y esta es la derivada con respecto de y ahora copiamos fx es fx ya lo voy a poner así y finalmente multiplicamos por la derivada de fx muy bien de f de equis y esto lo derivamos con respecto de x muy bien ok entonces esta es la idea de la regla de la cadena simplemente vamos derivando con respecto a lo que está adentro y vamos sacando más derivadas multiplicándose verdad entonces esta es la derivada con respecto de x y me gusta mucho esta anotación aunque quizás no es la más tradicional porque si lo hubiéramos como infracciones esto en realidad como como que se cancela en verdad éste se cancela con este este se cancela con este otro y al final al final nos queda la derivada de h de gdf de x respecto de x que era justo la derivada de nuestra gema yus q la muy bien entonces esto sí lo escribimos digamos con algo un poquito más convencional nos dice la derivada de g evaluada en x sería la derivada de h sería la derivada de h evaluada en vamos a seleccionar es justo gdf de x muy bien veamos si pegamos sería evaluar la derivada allí y aquí está y luego multiplicamos por la derivada de esa misma cosa bueno esa misma cosa es que seguida de fx vamos a pegarlo y simplemente le ponemos aquí su comilla de y que estamos derivando entonces aquí es la derivada de g evaluada en fx y luego multiplicamos por la derivada de fx muy bien qué es ese prima de x perfecto ahora nosotros en realidad queremos calcular la derivada de g en 5 muy bien entonces seleccionamos esto mismo y vamos a ver qué pasa en el punto particular que nos interesa copiamos y pegamos y en lugar de ponerle x voy a ponerle en siempre que yo vea la equis le voy a poner un 5 muy bien entonces estamos esto más o menos de ahí está limpio de las equis y ahora ponemos un 5 muy bien entonces ya ya tenemos todo lo necesario para hacer estas estas cuentas ahora vamos a ver qué es lo que ocurre el primero fíjense muy bien que necesitamos saber cuál es la derivada en 5 y cuánto vale la función efe en cinco para después poder evaluarla en la derivada de g muy bien y así consecutivamente entonces si nos damos cuenta la deriva o más bien la función f evaluada en 5 y aquí la tenemos efe evaluada en 5 es menos 1 así que esto vale menos 1 y es la derivada de g evaluada en menos 1 verdad entonces esto en realidad sería algo así como menos 1 todo esto sería menos 1 pero fíjense muy bien quién es la derivada de f en 5 aquí tenemos en 5 aquí está el punto y si nos damos cuenta es una recta horizontal y éstas tienen derivada igual a 0 entonces este término es 0 y entonces tú podrías seguir calculando la derivada de g en menos uno y después evaluar que cuando evaluada ene efe de 5 y calcular la derivada de h en ese punto y así sucesivamente pero fíjate que no es necesario ni siquiera porque aquí tenemos un un un factor de este producto que vale cero así que 0 por lo que sea que esto valga es igual a cero todo esto va a ser igual a cero ok entonces también puedes pensarlo de la siguiente forma piensa que la fx en 5 aquí no cambia verdad se mantiene el constante en al menos un intervalo de longitud 2 verdad centrado en en el 5 en realidad la f no está cambiando en 5 entonces si f no cambia en 5 pues la que tampoco va a cambiar alrededor del 5 y si elevamos al cubo que es componer con extra h tampoco va a cambiar y esa es otra forma en que puedes ver y al menos intuitivamente también entender por qué nos dio cero