Desafío sobre interpretar derivadas

se a efe una función derivable para toda x si efe evaluada en menos 2 es igual a 3 y la derivada de x es siempre menor o igual que 7 es decir esto es para toda x cuál es el mayor valor posible para f en evaluada en 10 muy bien entonces vamos a vamos a visualizar esto primero te invito a que hagas una pausa pienses de este problema tú mismo y realmente trates de responder cuál es el mayor valor para f de 10 muy bien entonces piénsalo y ahorita lo trabajamos juntos entonces suponiendo que ya lo pensaste ya lo intentaste vamos a comparar nuestras formas de resolver el problema y primero voy a visualizarlo poniendo una gráfica digamos que este no fue un bonito eje va de nuevo digamos que ahí tienen ustedes el eje y tienen el eje que corresponde a donde voy a graficar la función y voy a pintar ahora el eje x ahí tienen y tienen más o menos el eje x muy bien que se vea bien que es el eje perdón el eje x entonces nos dice que menos 2 aquí digamos aquí anda menos 2 por supuesto no van a hacer escalas escalas correctas y no va a estar es solo para para más o menos identificar el problema en menos dos vale tres ok entonces aquí está el valor de tres y aquí está nuestro primer punto muy bien nos preguntan cuánto vale efe en 10 entonces digamos que aquí que aquí anda 10 y no sabemos cuánto vale sin embargo sabemos que en todos lados la derivada debe ser menor o igual que 7 entonces por ejemplo en un caso extremo podríamos pensar que es una línea de pendiente 7 que en todos lados tiene pendiente 7 entonces piensen en esa línea digamos como como ahorita como una restricción y cada vez que nosotros vayamos avanzando en realidad no podemos avanzar o no podemos inclinarnos tanto como para para sobrepasar esa pendiente entonces qué es lo que va a ocurrir que definitivamente como sea esta función va a ser mucho menor va a ser mucho menor que si tuviéramos el máximo valor para esta derivada por ejemplo podría ser así o quizás mucho menos inclinado quizás algo así entonces como te darás cuenta no importa como gráfica es la función si no quieres que la derivada pase está pendiente entonces necesariamente vas a estar abajo de esto muy bien entonces esto lo podemos ver muy bien usando el teorema del valor medio por ejemplo cuál sería el cambio en g entre el cambio en x si consideramos está pendiente muy bien entonces esto esto sería bueno no necesariamente está pendiente si consideramos cualquiera de las gráficas tendríamos que el cambio que sería efe de 10 verdad - efe evaluada en dos pero f perdón en menos dos pero f evaluada en menos dos estrés así que si tomamos f de menos 2 igual a 3 tenemos eso y si dividimos entre el cambio en x sería menos -2 y esto será igual a la derivada a la derivada en algún punto x pero esto si nos tomamos el caso extremo sería 7 verdad sería 7 entonces esto simplemente se convierte en un problema de despejar y entonces por ejemplo 10 - menos 2 estos son 12 y si pasamos multiplicando el 12 entonces tendremos efe de 10 menos 3 igual a 12 por 7 que éstos son 2 por 7 son 14 y llevó una 7 por unas 7 y una son 8 son 84 si sumamos ahora tres de ambos lados tenemos que f de 10 será igual a 87 y este será el máximo valor que puede tomar por este argumento geométrico que acabamos de ver hace unos momentos