Rectas tangentes y razones de cambio

La posición de un coche que va por la calle, el valor de una moneda ajustado por la inflación, el número de bacterias en un cultivo y el voltaje de CA de una señal eléctrica son ejemplos de cantidades que cambian con el tiempo. En esta sección, estudiaremos la razón de cambio de una cantidad y cómo está relacionada geométricamente con las rectas secante y tangente.

Si dos puntos distintos $P(x_0,y_0)$‍ y $Q(x_1,y_1)$‍ están sobre la curva $y=f(x)$‍, la pendiente de la recta secante que conecta los dos puntos es

${\displaystyle m_{\sec }={\displaystyle \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}={\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}}$‍.

Si dejamos que el punto $x_1$‍ tienda a $x_0$‍, entonces $Q$‍ tenderá a $P$‍ a lo largo de la gráfica de $f$‍. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $P$‍ y $Q$‍ tenderá gradualmente a la pendiente de la reca tangente en $P$‍ a medida que $x_1$‍ tiendea a $x_0$‍. En el límite, la ecuación anterior se convierte en

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{x_1\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}}$‍.

Si hacemos $h=x_1-x_0$‍, entonces $x_1=x_0+h$‍ y $h\to 0$‍ a medida que $x_1\to x_0$‍. Podemos volver a escribir el límite como

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}}$‍.

Cuando el límite existe, su valor $m_{\tan }$‍ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$‍ en el punto $P(x_0,y_0)$‍.

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=x^3$‍ en el punto $(2,8)$‍.

Como $(x_0,y_0)=(2,8)$‍, al usar la fórmula de la pendiente de la recta tangente

obtenemos:

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es $12$‍. Recuerda de álgebra que la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta tangente es

${\displaystyle y-y_0=m_{\tan }\cdot (x-x_0)}$‍.

La fórmula punto-pendiente nos da la ecuación

que podemos volver a escribir como

${\displaystyle y=12x-16}$‍.

Ahora estamos interesados en encontrar una fórmula para la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la gráfica de $f$‍. Tal fórmula debería ser la misma que la que estamos usando excepto que reemplazamos la constante $x_0$‍ por la variable $x$‍. Esto da

${\displaystyle m_{\tan }=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍.

Denotamos esta fórmula por

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍,

donde $f{}^{\prime }(x)$‍ se lee "$f$‍ prima de $x$‍". El siguiente ejemplo ilustra su utilidad.

Si $f(x)=x^2-3$‍, encuentra $f{}^{\prime }(x)$‍ y usa el resultado para encontrar las pendientes de las rectas tangentes en $x=2$‍ y $x=-1$‍.

Como

${\displaystyle f{}^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$‍,

entonces

Para encontrar la pendiente, sustituimos $x=2$‍ y $x=-1$‍ en el resultado de $f{}^{\prime }(x)$‍. Obtenemos:

y

${\displaystyle f{}^{\prime }(-1)=2(-1)=-2}$‍.

Por lo tanto, las pendientes de las rectas tangentes en $x=2$‍ y $x=-1$‍ son $4$‍ y $-2$‍, respectivamente.

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)=1/x$‍ en el punto $(1,1)$‍.

Al usar la fórmula de la pendiente de una recta tangente

y sustituir $f(x)=1/x$‍ nos da

Sustituir $x=1$‍ da

$f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{-1}{(1{)}^2}}=-1$‍.

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en $x=1$‍ para la gráfica de $y=1/x$‍ es $m=-1$‍. Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la fórmula punto-pendiente:

${\displaystyle y-y_0=m\cdot (x-x_0)}$‍,

donde $(x_0,y_0)=(1,1)$‍. La ecuación de la recta tangente es

El concepto principal del cálculo diferencial es calcular la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, la rapidez se define como la razón de cambio de la distancia recorrida con respecto al tiempo. Si un automóvil viaja $120$‍ millas en $4$‍ horas, su rapidez es

${\displaystyle \frac{120\text{ millas}}{4\text{ horas}}}=30\text{ mi/hr}$‍.

Esta rapidez se llama "rapidez promedio", o "razón de cambio promedio de la distancia con respecto al tiempo". Por supuesto, un automóvil que viaja $120$‍ millas a una razón promedio de $30$‍ millas por hora durante $4$‍ horas no necesariamente lo hace a rapidez constante. Puede aumentar o disminuir su velocidad durante estas $4$‍ horas.

Sin embargo, si el automóvil choca contra un árbol, no será la rapidez promedio lo que determine el daño resultante de la colisión, sino su rapidez en ese instante. Así, tenemos dos tipos diferentes de rapideces, la rapidez promedio y la rapidez instantánea.

La rapidez promedio de un objeto está definida como el desplazamiento del objeto, $\mathrm{△}x$‍, dividido entre el intervalo de tempo, $\mathrm{△}t$‍, durante el cual ocurre el desplazamiento:

La rapidez promedio también es la expresión para la pendiente de una recta secante que conecta los dos puntos. La Figura 1 muestra la $\text{recta secante}$‍ que pasa por los puntos $(t_0,x_0)$‍ y $(t_1,x_1)$‍ en la $\text{curva posición-contra-tiempo}$‍.

Así que concluimos que la rapidez promedio de un objeto entre el tiempo $t_0$‍ y $t_1$‍ se representa geométricamente por la pendiente de la recta secante que conecta los dos puntos $(t_0,x_0)$‍ y $(t_1,x_1)$‍. Si escogemos $t_1$‍ cerca de $t_0$‍, entonces la rapidez promedio se aproximará mucho a la rapidez instantánea en el tiempo $t_0$‍.

La razón de cambio promedio de una función arbitraria $f$‍ en un intervalo se representa geométricamente por la pendiente de la recta secante a la gráfica de $f$‍. La razón de cambio instantáneo de $f$‍ en un punto en particular se representa por la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$‍ en ese punto. Vamos a considerar cada caso con mayor detalle.

La razón de cambio promedio de la función $f$‍ en el intervalo $[x_0,x_1]$‍ es

La Figura 2 muestra la $\text{recta secante}$‍ a través de los puntos $(x_0,f(x_0))$‍ y $(x_1,f(x_1))$‍ en la $\text{gráfica de}f$‍. La pendiente de la recta secante es la razón de cambio promedio $m_{\sec }$‍.

La razón de cambio instantáneo de la función $f$‍ en el punto $x_0$‍ es

La Figura 3 muestra la $\text{recta tangente}$‍ en el punto $(x_0,f(x_0))$‍ en la $\text{gráfica de}f$‍. La pendiente de la recta tangente es la razón de cambio instantáneo $m_{\tan }$‍.

Supón que $y=x^2-3$‍.

(a) Encuentra la razón de cambio promedio de $y$‍ con respecto a $x$‍ en el intervalo $[0,2]$‍.

(b) Encuentra la razón de cambio instantáneo de $y$‍ con respecto a $x$‍ en el punto $x=-1$‍.

(a) Aplicar la fórmula para la razón de cambio promedio con $f(x)=x^2-3$‍, $x_0=0$‍ y $x_1=2$‍ da

Esto significa que la razón de cambio promedio en el intervalo $[0,2]$‍ es un aumento de 2 unidades en $y$‍ por cada aumento de una unidad en $x$‍.

(b) En el Ejemplo 2 de arriba encontramos que $f{}^{\prime }(x)=2x$‍, de modo que

Esto significa que la razón de cambio instantáneo es negativa. Eso es, $y$‍ está decreciendo en $x=-1$‍. Está decreciendo a una razón de $2$‍ unidades en $y$‍ por cada unidad que decrece en $x$‍.