Coeficientes indeterminados 1

llegó el momento ahora sí estamos preparados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes pero que sean no homogéneas a qué me refiero con eso pues bueno tener ecuaciones de la forma a por jamie prima más b porque prima más c porque por la función original y esto igual dado a una función de x y es que yo quiero contarles algo muy importante lo importante es resolver la ecuación homogénea encontrar su solución general y encontrar la solución particular de esta ecuación y si nosotros sumamos la ecuación general de la ecuación homogénea bueno sé que ésta no me entienden mucho pero vamos a construirlo poco a poco voy a suponer que h es la solución general de mi ecuación homogénea solución general de ecuación homogénea qué quiere decir eso pues de una ecuación de segundo orden que estaba igualada 0 si h es solución de esta ecuación homogénea que se cumple pues que apura h mi prima más ve por h prima ya éstos le sumábamos ce veces h esto tenía que ser igual a 0 recuerden que cuando yo decía homogéneo estoy hablando de una ecuación igualdad a cero y si se acuerdan nosotros lo que hacíamos en los vídeos anteriores era encontrar la ecuación característica y de esa ecuación característica ver sus raíces y ver si eran reales serán iguales sean distintas o inclusive si eran completas pero si yo lo vimos en los vídeos anteriores así que no me voy a detener a analizar todo eso lo que sí les quiero decir es que estoy suponiendo que h es la solución general en ecuación homogénea y ahora imagínense que yo me encuentro a otra solución una solución j&j para no consumir la congela cuando nace una solución particular de ecuación no homogénea es decir cumple que a por jota mi prima más b por jota prima base por j es igual a g x dicho de otra manera j es una función de x que cumple que es una solución particular de mi ecuación diferencial de segundo orden no homogénea es una solución particular pero yo lo que les quiero enseñar es que jota y h sumadas es la solución general de la ecuación diferencial no homogénea y realmente lo que quiero hacer ahorita es que tengamos un poco de intuición antes de hacer los cálculos y veamos que realmente si se va a cumplir esta ecuación diferencial igualada gdx puesto que si yo meto h + j pues por una parte a por h mi prima más b por h prima más d por h pues me da 0 y si yo le agrego a j me va a dar que de x y entonces esto me da igual a gd x ahora vamos a hacer las cuentas numéricamente que me va a quedar a por h más j mi prima pues es así mi prima más hot a mi prima están de acuerdo la segunda derivada de una suma de funciones pues es la suma de las segundas derivadas pasa lo mismo para la primera derivada me va a quedar bien que multiplica a h prima mascota prima más que multiplica a h más jota bien ahora lo que voy a hacer es distribuir tanto la a como la ve como la hace y esto me va a dar de resultado pues a por el chevy prima más b por h prima más se emborrachen ya esto le voy a sumar yo también estoy de una vez esté metiendo en los términos semejantes a por jota mi prima más b por jota prima pues más por jota y como siempre recurro a mi obsesión con los colores ya tengo de amarillo todo lo que tiene que ver con h todo esto pues como sabíamos que dar solución de la homogénea pues es igual a cero entonces realmente esto 0 y por otra parte como nosotros seríamos que jota era una función particular de la homogénea a por jota mi prima más bien por jota más se por j pues estamos diciendo que esto es entonces todo esto de aquí va a ser gtx bien y gtx pues es igual a equis entonces pues de acabe a cabo yo de enseñarles que la suma de h mascota cumplen ecuación diferencial de segundo orden y lo que yo quiero decirles es que si yo pongo una nueva solución llamada acá y esta es ni más ni menos que hdx + jd x lo que hemos dicho pero ya con un nuevo nombre cada x es mi solución general de la ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes pero ustedes me van a decir qué es lo que está pasando aquí estoy un poco confundido lo entiendo nada no se preocupen justo ahorita lo que quiero hacer es un ejemplo que tenga que ver con esta misma ecuación no homogénea pero que tenga que ver con números reales así que volvemos todo y vamos a ver un ejemplo nuevo bien ustedes se van a preguntar cómo es posible que tú puedas sacar una solución particular de su función diferencial no homogénea como encuentra j pues en este ejercicio creo que les va a quedar más claro mi siguiente ejercicio va a ser y a mi prima ya esto le voy a rezar tres veces bien prima y yo creo que le voy a quitar otra vez 4g y esto lo voy a hacer a una función que tiene que ver con x 3 y 2 x pero antes de filosofar con la jota lo primero que vamos a hacer es lo que ya sabemos vamos a resolver la ecuación homogénea mi ecuación homogénea en este caso pues es mi prima menos 3 y en prima -4 y como es homogénea está igualada 0 y de aquí se acabamos su ecuación característica que es cuadrada menos tres r menos cuatro y esto se puede actualizar estos ere menos cuatro que multiplica a uno y esto es igual a cero de lo que me primer raíces 4 y segunda raíz es pues menos 17 mundos raíces 4 y menos 1 y ya con las raíces podemos encontrar la solución general de inmigración diferencial homogénea le voy a poner 10 subíndice que en lugar de h es mucho más formal y entonces quien me va a quedar pues es mi primer constante por la 4x más mi segunda constante al menos x porque me segunda raíz es menos 1 esto ya lo hemos analizado en todos los vídeos anteriores y aquí es donde viene el conocimiento nuevo como vamos a encontrar la jota o la producción particular de una ecuación no homogénea pues bien si no se han dado cuenta este video se llama coeficientes indeterminados 1 entonces el procedimiento que voy a utilizar se llama así pero tened en cuenta que por intuición y tal vez con un poco de colmillo matemático podemos ver que si tenemos una segunda derivada más una primera derivada más una función normal y que nos dé tres veces a la 2 x pues me suena que esto tiene que ver con funciones exponenciales no conocemos lo derivamos dos veces 11 nos lo derivamos dos veces con su primera derivada y nunca nos da un 2 x y un polinomio tampoco sean hiperbólico tampoco entonces creo que mi solución particular tiene que ver con una exponencial bien pues resolución particular le voy a poner el nombre de pepe en lugar de jota pues para hacerla más formal y dese cuenta que esta función particular tiene que ver con el 2x de hecho tiene que ver con la constante que multiplica a la 2x porque si yo como una constante pues se va a eliminar a la 2x tarde o temprano recuerden que a la 2 x se su derivada tiene que ver con ella misma entonces de una vez hagamos la me va a quedar dos veces a por ea la 2 x donde hay misma constante y su segunda derivada pues es 4 veces a por él a la 2x y si yo tengo a la 2 x en todos lados ahorita no voy a poder cancelar pero antes que nada voy a tratar de sustituir a ver si se encuentra una solución particular es decir la segunda derivada que es 4a por ea la 2 x menos 3 veces la primera derivada o sea menos 6 a por él a las 2 x 3 x 12 6 - cuatro veces la función original o sea menos cuatro por dos equis y todo esto tiene que ser igual a 3 por 2 x lo primero que quiero que vean es lo que les contaba era la 2x el factor común de todo entonces lo podemos cancelar una vez bien y me ese 4 al menos cuatro vamos también no me sirve ahorita entonces ya me queda una ecuación bien sencilla de resolver menos 6 a es igual a 3 y si yo resuelvo para qué era lo que estaba buscando me queda que vale un medio porque 3 entre 6 y es un medio bien ya puedo sustituir yo a a aquí y obtener resolución particular menos un medio por el 2x y ya con esta solución particular y mi solución general de la parte homogénea entonces ya podemos encontrar mi solución general de mi ecuación diferencial no homogénea y esta es la voy a denotar con jeff sin que ni ver ni nada esta es la suma de la general de la homogénea es decir c1 x a la 4 x + c 2 por el ala menos x esta era la solución de la homogénea más la particular o sea menos un medio de 2x y es así como por fin ya encontramos la solución general de lan homogénea darse cuenta que yo propuse como una solución particular algo que tenía que ver con el 2x porque tenía igualado 2x de hecho en los siguientes vídeos vamos a ver funciones que no tengan que ver con exponenciales tales polinómicas trigonométricas pero nos veamos el siguiente vídeo