No entiendo los intervalos ¿Alguna explicación más simple?

Los intervalos son la distancia que hay entre un 0 y otro 0, o un punto y otro punto. Claro que cuando ya no hay otro cero entonces se usa el infinito ya sea positivo o negativo para aclarar los intervalos.

Contenido principal

Curso: Álgebra 2 (Eureka Math/EngageNY) > Unidad 1

Lección 3: Tema B: Lección 14: Graficar polinomios factorizados

Intervalos postivos y negativos de polinomios

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Aprende acerca de la relación entre los ceros de un polinomio y los intervalos en los que es positivo o negativo.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Los ceros de un polinomio

f

corresponden a las intersecciones con el eje

x

de la gráfica de

y = f (x)

Por ejemplo, consideremos

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Como los ceros de la función

f

son

- 3

1

, la gráfica de

y = f (x)

tiene intersecciones con el eje

x

(- 3, 0)

(1, 0)

Si esto te parece nuevo, recomendamos que leas nuestro artículo Ceros de polinomios.

Lo que aprenderás en esta lección

Aunque las Intersecciones con el eje

x

son una característica importante de la gráfica de una función, necesitamos algo más para producir un buen bosquejo.

Saber el signo de un polinomio entre dos ceros puede ayudarnos a llenar los huecos.

En este artículo aprenderemos cómo determinar los intervalos en los que un polinomio es positivo o negativo, y cómo conectar eso con la gráfica.

Intervalos positivos y negativos

El signo de un polinomio entre cualesquiera dos ceros consecutivos es siempre positivo o siempre negativo .

Por ejemplo, considera la gráfica de la función

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

De la gráfica vemos que

f (x)

es siempre ...

...negativa cuando $- \infty < x < - 1$ ‍.
...positiva cuando $- 1 < x < 1$ ‍.
...negativa cuando $1 < x < 3$ ‍.
...positiva cuando $3 < x < \infty$ ‍.

Sin embargo, no es necesario que una función polinomial cambie de signo entre ceros.

Por ejemplo, considera la gráfica de la función

g (x) = x (x + 2)^{2}

De la gráfica vemos que

g (x)

es siempre ...

...negativa cuando $- \infty < x < - 2$ ‍.
...negativa cuando $- 2 < x < 0$ ‍.
...positiva cuando $0 < x < \infty$ ‍.

Observa que

g (x)

no cambia signo cerca de

x = - 2

Determinar intervalos positivos y negativos de polinomios

Encontremos los intervalos en los que

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

es positiva y los intervalos en los que es negativa.

Los ceros de

f

son

- 3

1

. Esto crea tres intervalos en los cuales el signo de

f

es constante:

Encontremos el signo de

f

para

- \infty < x < - 3

Sabemos que

f

es siempre postiva o siempre negativa en este intervalo. Podemos determinar cuál es el caso al evaluar

f

para algún valor en este intervalo. Como

- 4

está en este intervalo, obtengamos

f (- 4)

Como únicamente nos interesa el signo del polinomio ahí, no necesitamos evaluarlo completamente:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Evalúa solo el signo de la respuesta. \\ = (-) (+) & Negativo al cuadrado es positivo. \\ = - & Negativo por positivo es negativo. \end{aligned}

Aquí vemos que

f (- 4)

es negativo, así que

f (x)

es siempre negativa para

- \infty < x < - 3

Podemos repetir este proceso para los demás intervalos.

Intervalo: $- 3 < x < 1$ ‍

Como

0

está en este intervalo, obtengamos el signo de

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (0) & = (0 + 3) (0 - 1)^{2} \\ = (+) (-)^{2} & Evalúa el signo de la respuesta. \\ = (+) (+) & Signo negativo al cuadrado es positivo. \\ = + & Signo positivo por signo positivo es positivo. \end{aligned}$ ‍

Puesto que

f (0)

es positivo,

f (x)

será positiva para

- 3 < x < 1

Intervalo: $1 < x < \infty$ ‍

Como

2

está en este intervalo, obtengamos el signo de

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (2) & = (2 + 3) (2 - 1)^{2} \\ = (+) (+)^{2} & Evalúa el signo de la respuesta. \\ = (+) (+) & Signo positivo al cuadrado es positivo \\ = + & Signo positivo por signo positivo es positivo. \end{aligned}$ ‍

Puesto que

f (2)

es positivo,

f (x)

será positiva para

1 < x < \infty

Los resultados se resumen en la siguiente tabla.

Intervalo	Valor de algún $f (x)$ ‍ específico en el intervalo	Signo de $f$ ‍ en el intervalo	Conexión con la gráfica de $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	negativo	Bajo el eje $x$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) > 0$ ‍	positivo	Sobre el eje $x$ ‍
$1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	positivo	Sobre el eje $x$ ‍

Esto es consistente con la gráfica de

y = f (x)

Comprueba tu comprensión

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

tiene ceros en

x = - 6

x = - 1

¿Cuál es el signo de $g$ ‍ en el intervalo $- 6 < x < - 1$ ‍?

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

tiene ceros en

x = - 5

x = 2

x = 3

¿Cuál es el signo de $h (x)$ ‍ en el intervalo $- 5 < x < 2$ ‍?

Problema de desafío

3*) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

Determinar intervalos positivos y negativos a partir de un bosquejo de la gráfica

Otra manera de determinar los intervalos en los cuales un polinomio es positivo o negativo es hacer un bosquejo de su gráfica, de acuerdo al comportamiento del polinomio en los extremos y las multiplicidades de sus ceros.

Lee nuestro artículo Gráficas de polinomios para más detalles.

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Delgado Martinez Marco Antonio
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “No entiendo los intervalo...” de Delgado Martinez Marco Antonio
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- Fernando
  Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Los intervalos son la dis...” de Fernando
  Los intervalos son la distancia que hay entre un 0 y otro 0, o un punto y otro punto. Claro que cuando ya no hay otro cero entonces se usa el infinito ya sea positivo o negativo para aclarar los intervalos.
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JOSE BENJAMIN ROSALES GALDAMEZ
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “aun estoy intentando comp...” de JOSE BENJAMIN ROSALES GALDAMEZ
aun estoy intentando comprender
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