Introducción a la matriz identidad

cuando estabas aprendiendo a multiplicar hace muchos muchos años seguramente te encontraste con esta noción de que 1 por x es igual a ese mismo x lo cual tiene muchísimo sentido no o sea si tomamos uno de esta cosa pues simplemente nos queda esta cosa ahora si estamos en un ambiente de aritmética y nos fijamos en este número este número tiene una propiedad muy importante y justo a esta propiedad de que cualquier número por este número es ese mismo número le llamamos la propiedad de identidad de la multiplicación ok propiedad e identidad y ahora que estamos trabajando tanto con las matrices pues nos podemos preguntar si existe alguna matriz que cumpla con esta propiedad o sea haber para ser más claros vamos a preguntarnos si existe una matriz i tal que si la multiplicamos por alguna otra matriz por ejemplo una matriz nos quede exactamente la misma matriz que hay donde esta multiplicación es la multiplicación clásica entre dos matrices y para tener esto de una forma más concreta vamos a ver un ejemplo digamos por ejemplo que tenemos que que la matriz a es una matriz de 3 x 3 y que sus entradas son 1 2 3 4 5 6 7 8 y 9 y te recomiendo que le pongas una pausa al vídeo y trates de encontrar cómo tendría que ser esta matriz para que se de esta ecuación por ejemplo puedes empezar por pensar qué dimensiones debería de tener esta matriz pero bueno voy a pensar que ya le pusiste pausa hiciste un montón de cosas para tratar de encontrar esta matriz y entonces pues vamos a empezar por copiar esta matriz y ponerla por aquí y sabemos que queremos multiplicar a esta matriz por la matriz y además que la multiplicación de estas dos matrices va a ser exactamente igual a la matriz entonces vamos a multiplicar a la matriz y por una matriz que tiene tres filas y tres columnas y además lo que nos va a quedar es una matriz que tiene tres filas y tres columnas ahora para que la multiplicación entre estas dos matrices esté bien definida esta matriz tiene que tener el mismo número de columnas que el número de filas que tiene esta matriz para poder hacer este vector producto punto con este vector si no no podríamos multiplicar estas dos matrices entonces sabemos que el número de columnas de esta matriz tiene que ser 3 por otro lado también sabemos que el resultado de estas dos multiplicaciones es una matriz que tiene tres pilas y que además el número de filas que tiene la matriz resultante de la multiplicación es determinado por el número de filas que tiene esta matriz entonces después para que esta matriz tenga tres filas esta matriz tiene que tener tres filas y bueno el número de columnas que tiene esta matriz es determinado por el número de columnas que tiene esta matriz de aquí aunque hay entonces para hacer esta multiplicación y que nos quede esto estos dos números tienen que ser exactamente iguales y el número de filas de esta matriz es igual al número de filas del resultado y el número de columnas de esta matriz es igual al número de columnas del resultado ahora que sabemos acerca de todo esto pues sabemos cuánto tiene que valer el resultado de estas multiplicaciones o sea tiene que ser esta matriz 1 2 456 8 y 9 y además sabemos que este 1 de aquí lo obtenemos multiplicando esta fila de esta matriz por esta columna de esta matriz ok para obtener este 1 tenemos que multiplicar 1 por alguna cosa por aquí más este 4 por alguna otra cosa por aquí más 7 por alguna otra cosa y el resultado de esa multiplicación es 1 aunque ya estamos haciendo el producto punto entre la primera fila de la matriz y la primera columna de la matriz a y eso nos da la entrada 11 de la matriz del producto ahora también podemos pensar en esto de una forma tal vez un poquito ingenua y decir bueno si queremos que el producto punto entre estos dos vectores sea igual a 1 porque no en ésta y la de aquí hacemos que el 1 se multiplique por un 1 y que el 4 y el 7 se multipliquen y entonces a la hora de hacer el producto punto entre esta fila y esta columna para obtener esta entrada lo que nos queda es uno por uno uno por uno más cero por cuatro más cero por siete y eso sí es igual a uno entonces por lo menos para esta entrada así funciona nuestra simple idea pero pues tenemos que checar que funcione para el resto de las entradas no entonces vamos a ver qué pasa si hacemos el producto punto entre esta columna y esta fila lo que vamos a obtener es esta entrada cierto porque estamos en la primera fila por la segunda columna entonces obtenemos esta entrada y pues nos queda 2 por 1 2 + 0 por 5 + 0 por 8 o sea que si nos queda 2 y lo mismo pasa con esta última entrada de la primera fila o sea nos queda 3 por 13 + 0 x 60 x 9 y eso sí es simplemente el 3 que estábamos buscando pero bueno nuestro recorrido no termina aquí ahora qué pasa con la segunda fila de la matriz y pues la segunda fila de la matriz y va a tener mucho que ver con cuánto vale la segunda fila de la matriz producto ahora vamos a ver que tenemos que poner en esta fila ok está chile producto punto con esta columna lo que nos va a dar es esta entrada y si te fijas esta entrada es la entrada de en medio de esta columna entonces nos queremos deshacer de estos dos valores y para hacer eso pues vamos a multiplicar este vector por el vector cero a 0 y entonces nos queda 1 por 0 0 + 1 por 4 4 + 0 por 7 y entonces en total nos queda 4 que es justo lo que queríamos y funciona igual para el resto de estas entradas no sé al multiplicar esta fila por esta columna que es lo que nos va a dar esta entrada lo que nos queda es 2 x 0 0 + 1 por 5 5 + 0 por 8 y entonces nos queda simplemente el 5 y funciona exactamente igual para esta entrada bueno entonces tenemos una última fila que tenemos que descifrar esta fila ayuda a determinar qué valores tomen estas entradas ok para obtener esta entrada tenemos que hacer el producto de esta fila por esta columna y si lo que queremos es quedarnos con el 7 pues simplemente necesitamos poner 0 0 y 1 y entonces el producto punto de esta fila por esta columna es 0 por 1 + 0 por 4 + 1 por 7 y termina siendo 7 y fácilmente puedes ver que el producto de esta fila por esta columna es simplemente un 8 y el producto de esta fila por esta columna es el 9 entonces así de fácilmente hemos construido una matriz que tenga esta propiedad de identidad que si la multiplicamos por esta matriz a nos queda exactamente la matriz ahora en realidad aquí en lugar de la matriz a pude haber puesto a cualquier otra matriz y hubiéramos obtenido el mismo resultado ósea en serio si ponemos aquí cualquier matriz y la multiplicamos por esta matriz nos queda esa matriz que pusimos aquí originalmente entonces la matriz identidad de 3 por 3 es la matriz 100 0 1 0 0 0 1 y vas a ver cuando construyan más matrices de identidad de distintas dimensiones que todas tienen exactamente la misma estructura por ejemplo la matriz identidad pero de 4x4 la matriz 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 y por ejemplo la matriz identidad de 2 x 2 es simplemente 1001 aunque hay todas tienen exactamente la misma estructura que es simplemente tomar una matriz cuadrada de las dimensiones correctas poner puros unos en la diagonal y puros ceros en todas las demás entradas y que es lo importante y bonito acerca de las matrices identidad pues es esta propiedad que si las multiplicamos por alguna otra matriz nos queda esa otra matriz bueno ya ahora te voy a proponer que hagas algo cuando termines este vídeo y es averiguar qué pasa cuando estamos multiplicando a por la matriz y pero en este orden hemos visto en algunos vídeos que el orden en el que multiplicamos las matrices si importa entonces la pregunta es qué pasa con esta multiplicación será igual a la matriz