Ecuaciones con números complejos: x³=1

en este vídeo espero que realmente se entienda por qué la forma compleja no más bien la forma exponencial de un número complejo es realmente útil así que digamos que queremos encontrar o que queremos resolver la ecuación x cúbica igual a 1 así que vamos a tratar de hallar todas las raíces reales o complejas de esta ecuación que es equivalente a x cúbica menos 1 igual a 0 así que hallamos todas las raíces reales o complejas de esta ecuación y bueno realmente aquí es donde vamos a usar la forma exponencial la técnica que vamos a utilizar puede ser útil para cuando tienes x a las 5 x a la 37 no importa lo que quieres que veamos todos los patrones que emergen al al checar esto en el plano complejo es decir en el plano cartesiano así que pensemos a z como igual a 1 esta es una raíz es una raíz de la solución de esta ecuación así que vamos a pensar las otras raíces que pueda tener esta por supuesto no tiene una parte imaginaria así que si la dibujamos en el plano digamos aquí tenemos mi eje real y el eje imaginario entonces esto es el eje real el eje imaginario y si queremos representar esta zeta igual a 1 pues aquí lo colocamos sobre el eje real verdad si por ejemplo aquí tenemos el 1 y menos 1 en ambos ejes pues bueno nos fijamos que se está igual a 1 se encuentra sobre el eje real es decir en realidad tiene entradas en el plano 10 porque lo podemos escribir como 10 y muy bien de esta forma lo podemos poner ahí o en otras palabras su forma exponencial tiene primero la magnitud de este vector es una verdad la magnitud del vector es 1 ahora cuál es el argumento bueno el argumento de z el argumento de z cuál es el argumento de z cuál es el ángulo que hace este vector con el eje real bueno pues como es un número real se encuentra en el eje así que no tiene ángulo así que su argumento es z es perdón es 0 así pero puede que esto no parezca interesante pero si lo checamos esto pongan atención esto sería 1 por e a la 0 y verdad este su forma exponencial y por supuesto a la 0 y es uno simplemente era la cualquier más bien cualquier cosa a la 0 es 1 no hay gran problema el detalle es el siguiente si tomamos 0 radiales en realidad es lo mismo que tomar dos verdades como si le diéramos una vuelta completa así que el argumento de z en realidad puede no ser sólo cero sino que además puede ser dos para que le demos dos vueltas y sea cuatro pi o le demos tres vueltas y sea seis u ocho en fin así que uno realmente lo podemos expresar como 11 que es el módulo por el ala 2000 y que también es tropez y en fin los helados en verdad por iu y bueno realmente de esta ecuación entonces obtenemos las raíces por ejemplo de esta primera x1x cúbica igual a ea lados y finalmente x cúbica igual a la y perdón iguala a la 4 pi y esto es interesante porque de estas tres vamos a obtener raíces distintas porque si sacamos raíz cúbica de ambos lados de la ecuación digamos de esta sacamos raíz cúbica de ambos lados de todas las ecuaciones y después resolvemos para de x entonces vamos a obtener distintos resultados por ejemplo en esta primera en esta tenemos que x es igual a 1 a la un tercio que es una verdad elevar a la un tercio saca raíz cúbica de la segunda es x iguala a la 2 pi a la un tercio pues en realidad es multiplicar los exponentes por lo que nos queda a la 2 sobre tres por y muy bien ahora finalmente de la última tenemos x igual a la 4 pi y por un tercio que es a la 4 déjeme déjenme rehacer esto con el color que teníamos les decía que teníamos a la 4 y sobre 3 por iu muy bien y así podríamos seguir no es verdad déjenme dejen vamos a detenernos a pensar un poquito aquí así que inmediatamente de esto cuál es el argumento del de la segunda ecuación así que déjenme escribir que son tres raíces distintas x 1 x 2 x 3 y bueno vamos a checar la primera raíz es 1 que es el que ya teníamos verdad esta es la raíz cúbica de 1 ahora los otros números son números complejos así que vamos a visualizar estos números un poco cuál es el argumento de estos números para estos la magnitud es 1 y es 1 porque en realidad la r no aparece es decir que estamos multiplicando por 1 verdad es el coeficiente lo mismo pasa para el módulo perdón déjenme ponerlo en azul como estaba el módulo de x 3 pasa igual es 1 ahora cuál es el argumento de x 2 digamos y fi es el argumento entonces es dos tercios ahora cómo dibujamos este este número complejo x 2 bueno si es de norma 1 quiere decir que está en el círculo unitario y además hay que rotar dos tercios ese es el ángulo en donde se encuentran dos tercios pues es dos pies trescientos sesenta y entre tres son 120 así que se encuentra más o menos por aquí justo así donde este ángulo que estamos marcando es de 120 grados verdad que es 2 pi sobre 32 pi sobre 3 y tiene la misma longitud que x igual a 1 así que este x1 que estoy pintando de verde tiene el mismo el mismo tamaño que x2 que estoy pintando en magenta muy bien y sólo rotamos 120 grados ahora qué pasa con el segundo cuál es el argumento perdón de x 3 su argumento es 4 p sobre 3 y 4 p son 4 pies 720 y entre 3 pues en real realmente sólo nos queda que cuanto 720 entre 3 perdón 720 1 724 aquí sería 240 verdad bueno lo podemos checar y en realidad son 240 así que le sumamos y fíjense lo que le faltaba x2 para llegar al eje real eran 60 así que con otros 60 tenemos los 120 que nos faltan es decir si sumamos tenemos 240 grados que son 4 pitt hercios en radiales es un poquito engorroso checar esto pero bueno queda claro que aquí se encuentra el x3 y por supuesto su enorme es 1 es decir tiene la misma norma que los otros dos realmente solo estamos rotando solo estamos rotando en un ángulo de 120 entre cada uno verdad así que dividimos el círculo en tres partes iguales lo cual nos dio que cada uno tiene un ángulo entre entre cada uno del otro de 120 grados y bueno altura a lo mejor dices oye tú me prometiste que íbamos a encontrar raíces complejas pero tú me lo estás poniendo en su forma exponencial y yo realmente quiero verlo de la forma más vil bueno eso simplemente se saca rápidamente de lo que ya tenemos porque por ejemplo x2 debido a su forma exponencial lo pasamos a su forma de coseno y seno esto es ccoo seno de dos tercios más y seno de dos tercios verdad perdón seno de dos tercios y si nos fijamos ahora en nuestro diagrama bueno en realidad lo que tenemos de ángulo del eje imaginario a x2 son 30 grados por lo que nos quedan 60 grados para este triángulo verdad así la hipotenusa vale 1 y podemos encontrar rápidamente que la altura es raíz de 3 sobre 2 y esta distancia en el eje real es menos un medio así que vamos a ver esto será igual a coseno de dos tercios que como dijimos es menos un medio louis también sí sí lo hice bien perfecto más y por el seno de dos tercios que es la altura que es raíz de tres sobre dos perfecto y esto multiplica ahí así que éste es x2 hagamos lo mismo con x 3 x 3 va a ser igual a bueno este valor de x es el mismo que la anterior pero ahora su altura será negativa es decir será menos un medio en un medio verdad y bueno ahora tenemos este ángulo con respecto a este ángulo tenemos la misma altura que x 2 pero en número negativo verdad así que en este caso tendremos menos la raíz de tres sobre dos menos la raíz de tres sobre dos por iu y usando esta técnica ya pudimos encontrar tres raíces de nuestra ecuación original tres raíces complejas estas dos son raíces y también la raíz 7 igual a 1 es otra raíz también así que si usamos la misma técnica podríamos encontrar raíces cuartas raíces 300 que importan en fin lo único que sería es dividir el círculo en varias partes según la potencia de lo que queramos o más bien la raíz que queramos sacar así que si tomamos la raíz de 1 la raíz cuarta de 1 pues simplemente tomamos las divisiones del círculo en cuatro partes verdad ok ahora te puedes preguntar por qué yo lo seguí con a las 6 p y por ejemplo así que si yo hiciera esto fijémonos bien si x al cubo iguala a las 6 p y no digamos siguiendo el mismo argumento anterior entonces x sería igual a e a la 2 y ya que adivinen qué es lo que teníamos justamente acá arriba justamente fue cuando poníamos a la 2 p así que realmente no era necesario seguirnos con esa las 6 p bastaba con quedarnos hasta la 4 pi y de esa forma encontrábamos tres raíces distintas si querías hallar la raíz cúbica de uno en realidad es redundante seguir