Demostración de la fórmula de los focos de la hipérbola

hola en el último vídeo dijimos que sí tenemos una hipérbola con la ecuación x cuadrada sobre al cuadrado menos que cuadrada sobre b cuadrada igual a 1 la distancia focal de dicha hipérbola sería f igual ahí tenemos las constantes de aquí abajo la raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada y en este vídeo lo que quiero de mostrarte es justo esto y de hecho lo que sabemos es que la ecuación que tenemos por aquí es una hipérbola y en particular habrá a la izquierda y la derecha pues estas serían las asín totas y esto los ejes y esto es porque el término x es positivo y si el término ye fuera el positivo y el x el negativo entonces nuestra hipérbola abriría hacia arriba y hacia abajo como lo hice en el dibujito del extremo derecho y la prueba que mostraremos justo en este vídeo es simplemente un bonche de álgebra que estaremos haciendo idénticamente lo mismo para el caso en cuando jesse a la positiva sólo que cambiando las x por 10 sólo quería asegurarme que supieras esto y ahora hay que enfocarnos en un caso en el caso particular de la hipérbola que tenemos justo aquí entonces esta hipérbola que abre a la izquierda y la derecha vamos a dibujar los ejes y entonces ahora recordemos que cuando teníamos o hablábamos de las asín totas era para cuando yo era igual a más menos b sobre a y entonces vamos a utilizar mi herramienta de líneas para que nos queden rectas las asín totas luego la hiper volaba lúcida algo así la cual va a interceptar por este lado al punto que a cero y por este otro lado interceptaría a nuestro punto menos algo más pero como vimos en el vídeo previo y luce algo así y los puntos focales van a situarse por aquí en esta parte y hablando en cuanto a nuestra longitud focal que es la raíz cuadrada de la cuadra damas b cuadrada simplemente es esta distancia de aquí es la distancia es la longitud focal por lo que será f 0 y menos efe pero ahora bien lo que aprendimos en el vídeo pasado es que la definición de la hipérbola podemos decir que es el lugar de todos los puntos o un conjunto de puntos donde si tomas la diferencia de las distancias de los focos la dicha diferencia va a ser un número constante por lo que este es el punto x con el cual podría hacer cualquier punto que satisfaga dicha ecuación cualquier punto de la hipérbola y sabemos o más bien digamos que si tenemos la distancia de aquí vamos a llamarla de 1 y le restamos otra distancia de este a este otro foco y la que la cual llamaremos de 2 y dicho número es una constante independientemente de donde estemos en ahí pero la de hecho es el lugar de todos los puntos la hipérbola es el lugar de todos los puntos que satisfarán dicha condición y como aprendimos también en el vídeo pasado la diferencia de dicha distancia nosotros tomamos un punto y decimos ok cuál es esta distancia menos esta otra distancia a la cual diremos que es igual a 2 y entonces tenemos que de 2 menos de 1 es igual a 2 así que ahora la primera cosa que haremos es figurar nos que representan d1 y d2 en cuanto a su fórmula de distancia así que veamos que es de 1 de 1 sea la distancia entre este punto y este otro entre el punto menos efe 0 y lo que vamos a hacer es solamente usar la fórmula de distancia que es como con el teorema de pitágoras y es la diferencia de las x sea la diferencia de x menos - efe que es nuestro primer punto en el que estamos refiriéndonos esto al cuadrado más la distancia de ye menos el segundo punto que es 0 al cuadrado que es cuadrada a su vez la raíz de esto entonces eso sería de 1 y queremos que que es de 2 entonces de dos se puede obtener tomando el valor absoluto para no preocuparnos acerca de esto entonces aquí tenemos menos la raíz para hablando en cuanto a de dos menos la raíz de x - efe al cuadrado más que cuadrada y ya que sería entonces igual esto bien pues dijimos que esto sería igual a 2 que es la distancia de aquí entonces 2a es la constante de la que estamos hablando y veamos si podemos simplificar todo esto y pues ahora enfoquémonos en cómo podemos ir desarrollando esto pasemos del lado derecho nuestra raíz negativa y entonces de este lado tendríamos la raíz de x menos x menos más de más f al cuadrado más recordada y todo esto igual a 2 a la constante ya teníamos más la raíz de x - efe al cuadrado más ye cuadrada y bien ahora que tenemos estos dos radicales de ambas partes de la ecuación por el lado izquierdo si le damos al cuadrado tendríamos entonces simplemente el término de x + f al cuadrado más que cuadrada y luego el cuadrado de aquí tenemos que elevar el primer término que sería 4a cuadrada es como tener un binomio al cuadrado no entonces es sería más 2 veces el producto del primer término con el segundo 2 por 2 y entonces sería 4a tenemos por aquí 4 que a su vez está multiplicando nuestro segundo término que viene siendo la raíz x menos 10 al cuadrado más de al cuadrado más el segundo término elevado al cuadrado que simplemente se cancelaría la raíz al elevarlo entonces tendríamos más la parte interior aún no la voy a desarrollar entonces tendríamos más x menos f al cuadrado más al cuadrado y ahora vamos a ver que podemos ir cancelando pues tenemos bastantes términos en ambos lados de la ecuación y vemos que por aquí tenemos cuadrada en ambos lados es como si restamos que cuadrada de ambas partes sin alterarla y entonces se cancela y luego desarrollando este binomio al cuadrado nos queda x cuadrada más 2 x f más f cuadrada y todo esto igual a 4 al cuadrado más 4 a por la raíz b aún no voy a desarrollar lo que está dentro de la raíz para no confundirnos entonces es x menos s al cuadrado más de cuadrada más desarrollando igual este binomio al cuadrado x cuadrada menos 2x efe más y más efe cuadrada perdón y también podemos ir cancelando aquí términos vemos que podemos cancelar x cuadrada con esta de por acá también si restamos de ambas partes f cuadrada se cancela ahora tenemos por aquí menos 2x efe y por acá más 2x efe así que sumemos de x de ambos lados de la ecuación no pasemos este término para este otro lado así que agregando 2x efe de ambos lados tendríamos entonces que sumarían de este lado 4x efe y perdón por el sonido que acaban de escuchar voy a apagar mi teléfono y entonces esto va a ser igual a recuerda que solamente pase el 2x efe del lado izquierdo entonces va a ser igual a 4 a cuadrada + 4a por la raíz de x - efe al cuadrado más de cuadrada resulta un tanto fácil perderse con tanta álgebra pero recuerde que todo esto lo estamos haciendo para demostrar lo que habemos planteando un inicio entonces simplemente vamos a tratar de ir simplificando la diferencia de las distancias de estos dos puntos entonces aquí la ecuación de la hipérbola es con las as ibex y es cómo llegar a entender por qué es dicha raíz la longitud focal no entonces ahora vamos a desarrollar el término que tenemos dentro de la raíz es un binomio al cuadrado entonces es x cuadrada menos 2 x f más f cuadrada más cuadrada y ahora podemos dividir ambos lados de la ecuación de entre 4 y una vez más es para simplificar todo esto y lo seguiremos haciendo tanto como sea posible entonces vamos a tener de este lado x efe - al cuadrado pues estamos dividiendo entre 4 y de este lado sería a por la raíz de x cuadrada menos 2 x f más efe cuadrada más cuadrada y ahora podemos eliminar la raíz y para esto le damos ambas partes al cuadrado y entonces este se convierte en x cuadrada efe cuadrada menos 2 veces sea también como un binomio al cuadrado entonces será menos dos veces a cuadrada por x por efe mas al cuadrado y eso es por este lado y esto va a ser igual a elevando al cuadrado el lado derecho sería lo mismo que tener a cuadrada simplemente multiplicado por lo que tenemos dentro de la raíz ahora la expresión que nos está quedando de todo esto es bastante enredosa pero veamos que podemos hacer ahora vamos a dividir de ambos lados de la ecuación entre a cuadrada y tendremos x cuadrada de verdad quiero simplificar esto lo máximamente posible y entonces tenemos aquí esto 2 x x efe se cancela en la cuadrada con la que teníamos arriba al cuadrado la cuarta entre al cuadrado nos queda simplemente a cuadrada y esto es igual a equis cuadrada menos 2x efe más efe cuadrada más cuadrada y muy bien ahora podemos cancelar si observamos de ambos lados tenemos menos 2x efe entonces los cancelamos y ahora esto ya no simplifica un poco más las cosas también podemos ver que por aquí tenemos x cuadrada y x cuadrada entonces hay que restar la de ambos lados para poder tener la siguiente expresión x cuadrada por efe cuadrada sobre a cuadrada - m x cuadrada que es la que estamos restando íbamos a pasar simplemente del lado izquierdo y cuadrada entonces tus cambios signo menos ye cuadrada y ahora vamos a pasar este otro término espero que se entienda cuando digo que voy a pasar tanto x cuadrada y como ye cuadrada de mi lado izquierdo de la expresión para es lo mismo que si dijéramos que vamos a restar de ambos lados de estas dos expresiones y bueno del lado derecho entonces nos queda simplemente efe cuadrada y pasamos la cuadrada del lado derecho entonces f cuadrada menos a cuadrada ahora aquí vamos a factorizar en esta expresión nuestra x cuadrada entonces nos queda f cuadrada sobre a cuadrada menos 1 todo esto multiplicado por equis cuadradas simplemente lo estamos actualizando luego menos ye cuadrada igual a esta expresión que es f cuadrada menos a cuadrada y bien ahora podemos dividir de ambos lados de la expresión de la ecuación entre este término de aquí entonces al dividir todo / efe cuadrada menos a cuadrada tenemos efe cuadradas sobre a cuadrada menos 1 todo esto x x cuadrada / efe cuadrada menos al cuadrado menos ya cuadrada sobre f cuadrada menos al cuadrado y todo esto igual a 1 estamos dividiendo entre sí mismo entonces pues del lado derecho nos queda que es igual a 1 y bueno pues una vez más si queremos simplificar más esto multiplicamos por un 1 al decir esto es que podemos multiplicar el numerador por la cuadrada y también abajo multiplicar por a cuadrada entonces esto es igual a 1 no no estaríamos alterando nuestra ecuación entonces en la parte superior al multiplicar por la cuadradas efe cuadrada menos a cuadrada y luego la parte del denominador esa cuadrada por efe cuadrada menos a cuadrada todo esto a su vez multiplicado por nuestra x cuadrada y el segundo término que es exactamente igual todo esto igual a 1 y entonces estos se cancelan y creo que ya está surgiendo esto como la ecuación de la hipérbola por fin la luz de este túnel de verdad nos trabamos demasiado pero vale la pena entonces luce de la siguiente forma nuestra ecuación de la hipérbola sx cuadrada sobre a cuadrada - ya cuadrada sobre f cuadrada menos a cuadrada igual a 1 y realmente esto ya luce como una ecuación original o ordinal de una hipérbola que es x cuadrada sobre al cuadrado menos de cuadrada sobre b cuadro de igual a 1 y dicho pues ésta sí es una ecuación de una hipérbola simplemente cambia la parte de nuestro denominador en el término de y vemos que es esta distancia de focal menos a cuadrada representa nuestra distancia de acá arriba entonces podríamos jugar con álgebra e igualar dichos términos podemos decir que esta parte de aquí es la misma de acá simplemente vamos a igualar nuestras constantes entonces tenemos que la distancia focal al cuadrado menos al cuadrado es igual a b cuadrada y ya simplemente ahora si sumamos de ambas partes de nuestra ecuación a cuadrada tenemos que la distancia focal al cuadrado es igual a la suma de las constantes al cuadrado entonces sacando la raíz la distancia focal es igual a la raíz de cuadrada más b cuadrada y ahora si comprobamos que está exactamente como la que propusimos en un inicio de nuestra distancia focal y optimi con mucho optimismo es pero ahora si ya te quede como bien claro que es la raíz de la suma al cuadrado de dichas constantes y eso es cuando hablamos en cuanto a la hipérbola si habláramos de la elipse sea la raíz de la diferencia de estas constantes al cuadrado bueno las constantes al cuadrado y dicha diferencia ahora iré por un vaso de agua