Serie de potencias de ln(1+x³)

te presento una serie aquí 3x cuadrada menos 3x a las 5 más 13 x a la 8 menos 3x a la 11 y así sucesivamente y lo que quiero que hagas en este vídeo es hacer una pausa primero que nada y ver si puedes expresar esta serie como una serie geométrica es decir que es la suma de potencias de cierto número y de poder hacerlo ver cuál es el intervalo de convergencia porque por supuesto esta es una función que depende de x muy bien entonces suponiendo que ya hiciste una pausa ya lo pensaste al menos vamos a primero factorizar todo lo que podamos factorizar de esta serie entonces esto de aquí será exactamente igual a 3x cuadrada que multiplica a quien bueno primero tendríamos que multiplicar por 1 para que nos dé 3 x cuadrada luego menos porque tenemos el signo menos ya factor izamos el 3 y necesitamos multiplicar por x al cubo para obtener x a la 5 verdad ahora bien aquí sigue el más y ya factor izamos el 3 y ahora necesitamos multiplicar por equis a las 6 para que por este x cuadrada nos dé x a la 8 x a las 6 menos ya factor izamos el 3 y habrá hay que multiplicar por x a la 9 y así sucesivamente verdad cerremos este paréntesis y ya que tenemos esto ahora podríamos identificar cada uno de estos términos como potencias de x al cubo verdad por ejemplo tenemos aquí bueno aquí el 3x cuadrada sigue y el 1 podríamos pensar que es x al cubo elevada a la potencia 0 verdad y aquí luego bueno aquí sigue el menos x al cubo elevado a la primer potencia x al cubo elevado al cuadrado menos x al cubo elevado al cubo y así sucesivamente muy bien entonces de hecho aquí ya se ve muy bien cómo es nuestra serie geométrica verdad ya se ve muy bien quién es nuestra nuestra proporción común excepto que todavía no sabemos bien qué pasa con los signos pero esto es muy fácil porque si copiamos todo exactamente igual aquí podríamos ver que por ejemplo tenemos un signo menos cada vez que tenemos las potencias impares y un signo más cada vez que tenemos las potencias pares y eso ya lo hemos visto en varios vídeos porque podríamos por ejemplo pensar en menos x al cubo elevado a la 0 + menos x al cubo elevado a la 1 verdad y aquí menos 1 elevado a la 1 es menos 1 lo cual nos da estén menos y x al cubo elevado a la 1 es lo que teníamos acá arriba podemos sumar sumar perdón menos x al cubo al cuadrado y por supuesto como tenemos un signo menos elevado al cuadrado nos da así no más y luego podríamos concluir con más menos x al cubo elevado al cubo muy bien y esto otra vez se da porque menos 1 al cubo es menos 1 lo cual nos da el signo menos muy bien entonces aquí ya tenemos nuestra serie geométrica simplemente x 3x cuadrada la pregunta es bueno cuando esta serie geométrica converge y de hecho sabemos que las series geométricas convergen siempre que la proporción común o la razón común sea el bueno su valor absoluto sea menor que 1 es decir convergen y la proporción común que en nuestro caso es menos x al cubo si el valor absoluto de menos x al cubo es menor que 1 esto que nos está diciendo el valor absoluto de menos x al cubo en realidad es el valor absoluto de x al cubo verdad simplemente el valor absoluto de un número es el mismo valor absoluto que el de su negativo verdad ambos son de hecho no negativos ahora bien tenemos el valor absoluto menor que 1 entonces tendremos menos 1 menor que x al cubo menor que 1 y si sacamos raíz cúbica en cada uno de estos lados tendremos menos 1 menor que x menor que 1 y este es nuestro intervalo de convergencia este es el intervalo de convergencia el intervalo de convergencia es el intervalo menos 1 el intervalo de convergencia es el intervalo menos 11 sin incluir el menos 1 y el 1 muy bien entonces lo que obtuvimos es lo siguiente esto será igual a de hecho podríamos saber muy bien en el intervalo de convergencia cuánto o cómo expresar esta serie geométrica verdad esto es lo mismo que 3x cuadradas simplemente estoy copiando esto dividido entre 1 - la razón verdad 1 - las razones 1 - menos x al cubo que es más x al cubo y esto será exactamente igual déjeme seleccionar y copiar para no volver a hacerlo a copiar y pegar y ahí lo tienen tenemos esta igualdad de ahí tenemos esta igualdad muy bien entonces ahora lo que quiero que pienses es en lo siguiente si te fijas muy bien del lado izquierdo lo que tenemos es que se parece como una derivada de una función verdad de hecho es parecido a la derivada de un logaritmo de hecho va a ser la derivada del logaritmo natural de uno más x al cubo verdad bueno si no lo ves aún lo que sí es cierto es que quizás esto es una función que tiene una anti derivada y tenemos aquí del lado derecho su expresión en serie si nosotros queremos saber quién es la expresión en serie de la anti derivada de esta función bastaría con integrar de ambos lados verdad encontramos la anti derivada del lado izquierdo y tendremos la anti derivada del lado derecho si también integramos muy bien entonces nuestro la diversión que vamos a tener ahorita es ver si podemos expresar la anti derivada de esta función en términos de alguna serie muy bien así que cómo resolveremos este problema si nosotros hacemos o igual a 1 + x al cubo entonces estamos pensando en un cambio de variable para resolver la integral tendremos que de v será igual a 3x cuadrada de xy entonces podemos hacer ahora este cambio de variable y resolver la integral tenemos tendremos por ejemplo aquí está de hecho aquí se ve verdad 3x cuadrada de x es nuestra de eeuu que se encuentra justo aquí entonces podemos utilizar el cambio de variable y que tendremos la integral de luego con el mismo color la integral de 1 / v y esto lo voy a dejar con el color rojo 1 / v por dv es igual a la integral que tenemos del lado derecho ahorita vemos qué pasa con la integral del lado derecho pero este integral es el logaritmo natural esto es el logaritmo natural del valor absoluto de eeuu más cierta constante una constante una primera constante del otro lado va a salir otra pero ahorita chequemos que es lo que va a ocurrir y esto es exactamente igual al logaritmo natural de eeuu que dijimos que era uno más x al cubo y recuerden que hay que ponerle un valor absoluto pero de hecho de hecho no es necesario ponerle el valor absoluto ya que la equis está entre menos uno y uno si x está entre menos uno y uno x al cubo vuelve a estar entre menos uno y uno y si le sumamos uno estará entre cero y me parece que dos verdades exactamente está entre 0 y 2 lo cual nos dice que estoy adentro es no negativo así que de hecho es positivo así que esto es el logaritmo natural de 1 + x al cubo y ya no es necesario ponerle el valor absoluto y sumamos una constante de 1 ahora qué pasa del lado derecho qué pasa si integramos esta serie sobre el intervalo de convergencia por supuesto entonces tendremos primero tendremos alguna constante no sabemos cuál y vamos a ir integrando paso por paso por ejemplo aquí qué pasa si integramos 3x cuadrada esto será tres veces la integral de x cuadrada y la integral de x cuadrada es x al cubo entre 3 pero multiplicado por este 3 simplemente nos da x al cubo muy bien vamos a ver qué ocurre con esta de aquí ahora tendremos son menos tres veces la integral de quizá la 5 que es x a las 6 sobre 6 y x este 3 nos queda x a las 6 dividido entre 2 muy bien vamos a ver qué pasa con el siguiente si integramos x a la 8 nos queda x a la 9 entre 9 pero multiplicado por 3 nos queda x a la x a la nueve exactamente sobre 3 muy bien y sólo vamos a hacer el último por diversión si integramos esto integramos x a la 11 nos queda x a la 12 sobre 12 que multiplicado por 3 nos da x a la 12 sobre sobre sobre sobre 4 por supuesto 3 entre 12 es un cuarto muy bien y así seguimos sumando así que ya tenemos una expresión en serie para el logaritmo natural de 1 más x al cubo por ejemplo si pasamos restando este ese 1 lo que nos va a quedar es lo que nos va a quedar es lo siguiente tenemos esto esto implica que el logaritmo natural de 1 + x al cubo es igual a c 2 - c 1 que a final de cuentas es diferencia de constantes así que pues solo es alguna constante más x al cubo - x a las 6 entre 2 x a la 9 sobre 3 - x a la 12 entre 4 y tú ya ves el patrón verdad espero que ya ya distingas cuál es el patrón aquí y que fue bueno aquí ya lo que obtuvimos es una expresión para el logaritmo natural de 1 + x al cubo una expresión en serie sobre el intervalo de convergencia que teníamos aquí así que en resumen que fue lo que hicimos teníamos una serie una serie que vimos que se podía se podía expresar como una serie geométrica esencialmente x 3x cuadrada eso nos da una expresión para esta serie que era 3 x cuadrada entre 1 + x al cubo y tenía su expresión en serie ahora bien si integramos de ambos lados obtenemos una anti derivada de esta función por un lado y que es el logaritmo natural de uno más x al cubo y del otro lado obtenemos una serie esto me está diciendo que esta serie es una expresión para esta función muy bien ahora quién es esta constante que obtuvimos realmente necesitamos un poco más información por ejemplo qué pasa si la equis vale cero cuando la equis vale cero tendremos el logaritmo natural de uno que es igual a c se más si x vale 0 aquí tendremos 0 si x vale 0 tendremos menos 0 y así sucesivamente verdad solo sumamos o restamos ceros así que nuestra constante es el logaritmo natural de 1 pero nosotros sabemos cuánto vale el logaritmo natural de 1 y eso es 0 así que esta constante no es otra cosa más que un 0 y ahora si tenemos la expresión la expresión correcta para el logaritmo natural de 1 más x al cubo en serie de potencias muy bien esta es una expresión en serie de potencias del logaritmo natural de 1 + x al cubo muy bien de hecho déjenme nada más concluir con la expresión de esta serie en notación usando la letra griega sigma verdad entonces tenemos logaritmo natural de 1 + x al cubo va a ser igual que la suma con la serie desde n igual a uno hasta infinito y que es lo que tenemos tenemos x al cubo elevado a la nba aquí sería x al cubo a la 1 x al cubo a la 2 x al cubo a la 3 y así sucesivamente divididos entre n verdad aquí sería elevado a la 1 dividido entre 1 elevado a la 2 dividido entre 2 elevado a la 3 dividido entre 3 y me falta ir intercambiando los signos así que me falta por menos 1 y pensemos debe ser un signo más en las x en la primera posición signo menos en la segunda signo más en la tercera es decir son signos más en los impares y signos menos en los pares así que esto simplemente se puede escribir como menos 1 a la n 1 muy bien entonces así está correcto muy bien y ahí lo tienen no sé ustedes pero yo lo encuentro este resultado muy satisfactorio la verdad es que me pareció un ejercicio muy interesante