Representación de vectores en Rn usando miembros del subespacio

vamos a comenzar nuevamente tomando ve un sub espacio vectorial de rn ok este es un sub espacio vectorial de rn y también vamos a tener en cuenta vamos a tener muy presente al complemento ortogonal de nuestro espacio b que también por cierto es un sub espacio de rn y eso lo demostramos ya hace algunos vídeos entonces también debemos recordar que la dimensión como relacionamos la dimensión de ellos es de la siguiente forma que la dimensión de nuestro espacio ve más la dimensión de nuestro espacio be ortogonal el complemento ortogonal de de esta suma debe ser igual a n donde n es la dimensión de de rn verdades es esta dimensión justamente ok entonces vamos a seguir tratando de relacionar a b y al ave ortogonal y lo primero que nos podríamos preguntar es bueno habrá algún elemento que se encuentre en ambos espacios una pregunta justa vamos a tratar de resolverla entonces supongamos vamos a suponer que existe algún elemento que se encuentra en ambos digamos que existe un vector x que se encuentre primero en nuestro espacio b y también vamos a suponer que este x se encuentra en nuestro espacio de ortogonal ok esto esto último que nos está diciendo todos los elementos del complemento ortogonal de b son aquellos que al multiplicarlos por cualquier elemento del sub espacio b nos da cero en entonces en este caso como x pertenece a este a este conjunto entonces vamos a tener que x punto b es igual a 0 para cualquier para todo para todo de vector que se encuentra en nuestro sub espacio muy bien ahora aquí tenemos otra cuestión estamos suponiendo que x se encuentra en nuestro sub espacio entonces x puede caber muy bien en este en la posición que juega b sí sí este esta vez lo sustituimos por la equis vamos a tener que x punto x es igual a 0 pero quién es x punto x pues esto no es otra cosa más que la magnitud o la norma de x al cuadrado y si nos dice que la norma al cuadrado es cero quiere decir que la norma es cero y si la única no es y si la norma es cero el único vector que puede satisfacer esta condición sólo puede ser uno y ese vector es el vector cero entonces a x no le queda de otra más que ser el vector cero ok entonces si consideramos un vector que se encuentre en ambos solo puede resultar ser el vector 0 esto en términos con juntistas lo podemos escribir de la siguiente forma digamos que tenemos aquí nuestro sub espacio b y queremos ver cuáles son todos aquellos con los cuales coincide con él con el complemento ortogonal está volteada como como montecito no es otra cosa más que la intersección es decir en qué parte se traslapan se enciman estos dos conjuntos y la intersección o los elementos que se encuentran en ambos es un conjunto de un solo elemento y es el vector cero ok entonces cómo se vería esto digamos con algunos dibujitos por ejemplo aquí tienen ustedes a todo el espacio rn este es todo rn y digamos que por aquí vamos a pintar con azul vamos a pintar con azul digamos que aquí tenemos a nuestro sub espacio b también tenemos por ahí a nuestro complemento ortogonal digamos que ese este y que resulta que el único punto en donde ambos se intersectan es uno es un único punto éste es el peor tonal y de hecho este punto de aquí este punto el único d en donde se intersectan no es otra cosa más que el vector cero ok esto es digamos viéndolo con algunos dibujitos y bueno ahora lo que vamos a hacer es ver si hay más propiedades que relacionen al espacio b ya su complemento ortogonal entonces vamos a partir ahora suponiendo que que conocemos la dimensión del espacio b digamos que la dimensión de nuestro espacio b es k ok y recordemos que que la dimensión no es otra cosa más que el número de elementos que tiene la base en una base de un sub espacio es el conjunto más pequeño de de vectores linealmente independientes que generan a todo este espacio correcto eso es lo que nos daría una base entonces también sabemos qué bueno que b es un subconjunto de rn que de hecho es un sub espacio y también sabemos que el complemento ortogonal de b es un sub espacio de rn ambos son de hecho subespacios y sabemos por esta relación entonces que la dimensión la dimensión del complemento ortogonal debe pues al sumarle que nos debe dar n por lo tanto esto puede debe ser n menos k si sumamos n menos acá si a esto le sumamos que entonces n - k mas k nos queda simplemente en ok entonces les voy a ir diciendo a donde quiero llegar quiero ver si combinando estas estos dos estas dos propiedades podemos construir una base para todo rnp que voy a hacer un poquito más claro digamos que tenemos que conocemos la base del conjunto b digamos que este tiene base de 1 de 2 etcétera y tenemos acá vectores ok digamos que este es una base base de fe y tenemos también alguna otra base por ejemplo que tenemos la base de de ortogonal digamos vamos a llamarle a estos w tenemos w 1 también w 2 y como son en menos acá pues tendremos n de estos vectores ok y esto es una base base del complemento ortogonal debe entonces vamos a ver si juntando estos dos estas dos bases podríamos hacer una base completa para todo rn porque tendríamos dos conjuntos uno de cada elementos y otro de n menos k que en total nos dan en elementos entonces la pregunta es si estos si juntamos estos dos conjuntos podríamos obtener una base una base para todo rn y bueno vamos a tratar de resolver esa pregunta que íbamos a bajar un poco entonces vamos a primero ver si es así juntando estos dos conjuntos tenemos que sean linealmente independientes ok entonces consideremos una combinación lineal digamos que tengo c1 b1 más de dos dedos más toda una combinación de estos ves más seca bk ok y además voy a sumarle alguna combinación de estos dobles porque entonces vamos a sumarle también vamos a ponerle que sean las constantes des de uno wv uno más de dos w 2 más etcétera de n k w n ok y vamos a suponer que toda esta combinación lineal nos da exactamente el vector 0 ok entonces esto es lo que nos estaría diciendo es que bueno en principio sabemos que si hay una solución si por ejemplo todas las constantes es y las veces son 0 esto tiene sentido porque tendríamos 000 que sumamos puros ceros y nos da el vector 0 la pregunta es si hay alguna otra solución que no sea la trivial es decir que no sean todas las constantes cero si no es así entonces tenemos que todo este conjunto de vectores completito es linealmente independiente y después veríamos que genera todo rn verdad entonces con esto podríamos ir avanzando para probar qué es una base para todo el espacio entonces lo que vamos a hacer ahora es considerar vamos a pasar todas todos los los vectores wv los vamos a pasar del lado derecho y entonces como nos queda vamos a tener c1 b1 c 2 b 2 + varias cosas aquí más seca de acá y esto va a ser igual si nosotros pasamos todos estos vectores del lado derecho los tenemos que pasar restando verdad entonces restamos todos estos que serían de 1w 1 + de 2w 2 etcétera más de n menos k w n menos acá muy bien entonces vamos ahora a qué es esto bueno esto de aquí esto de aquí es una combinación lineal de vectores que son base de nuestro psuv espacio b qué quiere decir esto que si yo por ejemplo le pongo de nombre vamos a llamarle a este número o perdón a este vector x x va a hacerse uno de uno más de dos de dos todos estos más seca beca quiere decir esto por supuesto que entonces x como es una combinación lineal de elementos de la base de nuestro espacio ve pues a x no le queda otra cosa más que pertenecer a b y eso es porque los sub espacios vectoriales son cerrados bajo sumas y bajo multiplicación por escalares de hecho son cerrados bajo combinaciones lineales entonces esta combinación lineal pertenece a b entonces a éste le llamamos x y por otro lado este numerito x nos dice que es una combinación lineal de vectores w.bush que son base del complemento ortogonal de b entonces todo esto que tenemos aquí a la derecha digo quizás se puede confundir un poquito el menos y demás en el punto es que si si tú multiplicas este menos por todos los sumandos te queda una combinación lineal de wv de los vectores w entonces esto es alguna combinación lineal combinación escribirlo completo una combinación lineal de vectores de la base de habíamos dicho de del complemento ortogonal de b entonces son combinación lineal de vectores de la base del complemento ortogonal de b entonces si x por un lado también es esta combinación lineal quiere decir que x por ser una combinación lineal de elementos de la base del complemento ortogonal de b quiere decir que también está en el complemento ortogonal entonces x está en el complemento ortogonal de b ok entonces y eso fue con lo que empecé este vídeo porque yo empecé hablando de que si teníamos algún elemento que se encuentra en ambos espacios en ambos sub espacios no le queda de otra más que ser el vector 0 verdad aquí tenemos que x forzosamente tiene que ser el vector 0 entonces aquí concluimos que si expresamos de esta forma x necesariamente es el vector 0 ahora repasemos esto porque si tenemos esto de aquí si tenemos esto de aquí tenemos una combinación lineal y ahora sabemos que esta x déjenme déjenme borrar esta x ya sabemos que es 0 verdad entonces tenemos que 0 es igual a una combinación lineal de elementos de la base de nuestro espacio b pero sabemos que estos por ser una base son linealmente independientes y la una de las definiciones de que sean una colección de vectores linealmente independientes es que si tiene una una combinación lineal que nos da 0 sólo puede ser que las constantes que por las cuales estamos multiplicando a los vectores sean únicamente 0 entonces de aquí por ser una base obtenemos que todas estas constantes deben ser 0 entonces de aquí obtenemos que ese 1 c2 etcétera todas estas constantes secas son o bueno deben ser deben ser deben ser ok eso por un lado ahora del otro lado también tenemos una combinación lineal de vectores pero ahora estos vectores de hecho son la base de el complemento ortogonal del complemento ortogonal y nos da 0 y es el mismo argumento tenemos una combinación lineal de vectores linealmente independientes que nos da 0 por lo tanto todas estas constantes deben ser 0 bueno en realidad uno puede distribuir al menos y decir menos de uno es cero menos de 20 menos de n menos cae 0 pero bueno menos de 1 igual a 0 y eso significa que de uno tiene que ser cero entonces todas estas todas estas también se hacen cero entonces b1 b2 etcétera hasta de elementos que deben ser también pero deben ser 0 muy bien ahora regresemos un poquito acá arriba vamos a regresar nos un poquito vamos a regresar a nuestro problema original que estábamos tratando de analizar que que era esta que estoy marcando en azul fíjense queríamos ver al menos ahorita si juntamos estos estos dos conjuntos que son bases si al juntarlos podríamos obtener una base completa para él para el espacio de rn entonces dijimos bueno pues vamos a ver primero si son linealmente independientes entonces damos una combinación lineal de todos estos vectores que nos dé 0 y ahora resulta que no pudo ser de otra forma más que todos estos de los de las constantes tienen que ser cero y eso lo vimos porque al expresar lo de esta forma se iguala vamos a hacer o por ser linealmente independientes esto me daba 0 y por otro lado también me daba 0 y sólo le quedaban serán las constantes a todas ser 0 por lo tanto regresando a nuestro problema original ya que teníamos una combinación lineal dada y resultó que todos tienen que ser 0 eso inmediatamente me está diciendo que el conjunto formado por ambas bases es linealmente independiente ok entonces vamos a notar eso tengo yo mi conjunto formado por vamos a hacerlo con con los colores que ya tenía por ejemplo mi conjunto formado por b1 b2 todos estos todos estos hasta beca este digamos nuestra primera base y después le juntamos o extendemos esta base con todos estos dobles le juntamos w1 wv2 etcétera hasta w n menos acá todo este conjunto en donde ya funcione digamos estas dos bases es un conjunto linealmente independiente linealmente independiente ok un conjunto linealmente independiente y de hecho vamos a ver qué es una base de rn eso es lo que queremos llegar a que no solo es un conjunto linealmente independiente sino que además va a llegar a ser una base ok entonces vamos a repasar un poquito de estas propiedades supongamos que tenemos un sub espacio sube espacio de dimensión vamos a decir n dimensión dimensión en ok tenemos un sub espacio de dimensiones y vamos a suponer que tenemos tenemos n vectores linealmente independientes ok tenemos en efectores n vectores linealmente ya sólo lo voy a escribir como l y sale l linealmente independientes y que son elementos del psuv espacio que son elementos o miembros elementos o miembros del psuv espacio ok tenemos estos en elementos de vectores linealmente independientes del sub espacio entonces nosotros ya sabemos que el conjunto de los n vectores que estos en electores linealmente independientes es una base del psuv espacio verdad es una base del psuv espacio por qué necesitamos forzosamente si las dimensiones n necesitamos escribí mal necesitamos para generar al menos n pero es el mínimo número verdad con menos vectores no puedo generar un espacio de dimensión n por lo tanto este conjunto es una base del psuv espacio ok entonces en particular podríamos pensar en rn podríamos pensar en rn rn como un sub espacio o que digamos rn es un sub espacio de qué dimensión pues tiene dimensiones de verdad aquí nos está indicando entonces este es un sub espacio de dimensión n que lo podemos escribir de esta forma que la dimensión de rn es justamente eso n ok y entonces qué es lo que vamos a tomar consideremos un vector a rojito vamos a ponerlo con un rojito digamos que tenemos un vector tenemos un vector a elemento de rn ok entonces como tenemos aquí y esto resultó ser un conjunto linealmente independiente pero cuántos elementos tiene esto esto tiene cada elementos de estos rojos y n cada elementos de estos amarillos si los sumamos en total son n lectores linealmente independientes ok entonces como además el espacio rn tiene dimensión n por esta observación esto inmediatamente ya es una base ok de hecho vamos a escribir lo que todo esto de aquí todo esto de aquí ya es una base esto es una base una base y por supuesto es una base de rn verdad ok ok entonces si es una base y nos tomamos cualquier vector de rn entonces este vector yo lo puedo escribir como una combinación lineal de elementos de la base entonces puede ser vamos a ponerle vamos a ponerle otro nombre a las constantes para que no se confunda como que teníamos arriba digamos que es digamos b 1 por b más de 2 por b 2 quién sabe cuántos sean son cada dijimos beca ok aquí tenemos estos elementos de la base y necesitamos también elementos de estos vamos a llamarle por ejemplo 1 w 1 + 2 w 2 más varias otras cosas e n menos k w n - k le cambié posee otras constantes para que no se confunda con lo que teníamos arriba ok entonces si ya pudimos expresar cualquier vector del espacio r n de esta forma ahora fijémonos en lo siguiente y fijémonos principalmente en los colores estos de aquí estos de aquí es una combinación lineal de elementos de nuestro psuv espacio b entonces esto aquí sí si agrupamos todos estos es un vector pero que donde vive pues este vector vive en nuestro psuv espacio porque es cerrado bajo combinaciones lineales entonces este vector que le voy a llamar v este vive en nuestro psuv espacio ve ahora podemos pensar exactamente lo mismo con estos otros vectores porque estos otros vectores pues serán algún vector digamos equis pero es una combinación lineal de vectores que viven en nuestro este sub espacio de de ortogonal verdad donde lo había puesto aquí esta verdad todos estos viven en el complemento ortogonal debe por lo tanto en cualquier combinación lineal de ellos vive el complemento ortogonal debe porque es un sub espacio eso ya lo habíamos visto en algunos en algunos vídeos antes ok entonces fíjense muy bien cómo es que ahora puedo reescribir a porque este es un vector b y este es un vector x entonces a lo puedo expresar como un vector b más un vector x ok que es lo que acabo de hacer me está diciendo que cualquier vector de rn lo puedo expresar como una suma de dos vectores uno que vive en b y el otro que vive en su complemento ortogonal y ese es una idea muy interesante de cómo podemos descomponer vectores de esta forma ahora una pregunta que te puedes estar haciendo inmediatamente si esta expresión es única ok será única es decir qué pasaría si yo puedo expresar como la suma de dos vectores o uno que viven de otro que vive en el complemento ortogonal pero que lo puedo hacer de dos formas distintas esto es por ejemplo vamos a escribirlo supongamos que no es única primero supongamos supongamos que no es única que no es única si no es única entonces voy a tener a mi vector y tengo mi vector a que lo puedes escribir como un b1 más x1 pero también lo puedo escribir como b 2 + x2 donde donde vamos a tener que suponer que bueno si a esta en rn entonces estamos estaremos diciendo que los ve que los ves b1 y b2 viven en nuestro sub espacio b y que x1 y x2 viven en el complemento ortogonal entonces qué es lo que podemos hacer en esta en esta ocasión bueno si el b 2 lo pasamos del otro lado restando y el x1 del lado derecho también restando es decir vamos a tener el lado de este lado b 1 - b 2 sería igual a x2 y el x 1 lo pasamos del otro lado entonces me queda igual a x2 menos x 1 ok que es lo que he logrado con esto fíjense si yo llamo a este vector z digamos que esto es un zeta ceta es es la resta de dos vectores que viven en nuestro sub espacio b entonces esto nos está diciendo cómo es un sub espacio que z vive también en nuestro sub espacio b ok esto es la resta de dos vectores que viven en b como ve es un sub espacio vectorial esto vive todavía en ve y permanece por otro lado z es también la resta de dos vectores pero estos dos vectores viven en el complemento ortogonal que habíamos dicho que el complemento ortogonal es un sub espacio eso ya lo hemos demostrado en vídeos anteriores entonces como es un sub espacio es cerrado bajo bajo adicción o bueno si restamos los vectores es un caso especial de la adición verdad entonces estamos aquí diciendo que z se encuentra también en el complemento ortogonal de nuestro espacio ahora porque empecé el vídeo con todo esto porque en el vídeo al inicio dijimos que el único elemento que puede estar en ambos conjuntos es el vector cero y aquí justamente encontré un vector que vive en ambos entonces esto me da de forma gratuita que el vector tiene que ser únicamente el cero ok entonces esto debe ser igual a cero que es lo que tenemos ahora que b1 b2 es igual a cero y x2 menos x1 es igual a cero entonces vamos a escribir esto por un lado tenemos que d v 2 es igual a cero y si pasamos de 2 sumando del otro lado vamos a tener que ver uno es igual a b 2 eso es una bonita observación ahora aquí tenemos también también tenemos que x 1 - x 2 es igual a 0 verdad es esto bueno aquí en realidad no importa mucho voy a corregirlos los subíndices aquí debería ser x 2 - x 1 es igual a 0 pero si esto es igual a 0 podemos pasar x 1 sumando del otro lado y tenemos que x 2 va a ser igual a x 1 entonces que fue lo que ocurrió al final que si yo no expresé de dos formas distintas resulta que los dos vectores que lo componen pues no son otra cosa más que iguales es decir esto debe ser igual a esto y x1 debe ser igual a x2 entonces la descomposición de este vector tuvo que ser necesariamente única