Ejemplos de transformaciones lineales: reflejar y escalar

hemos hablado bastante sobre transformaciones lineales y en este vídeo y también en los siguientes yo quiero mostrarte cómo esencialmente diseñar una transformación lineal para que haga con los vectores lo que tú quieres que haga con ellos entonces ya sabemos que una transformación lineal digamos t que va de rn a rm entonces podemos representar a teo o lo que lo que te hace a algún vector lo podemos representar como una matriz una matriz que multiplica a un vector x esto sería multiplicando al vector x y esto nos da una matriz de m por n de m por n ahora sabemos que siempre podemos construir esta matriz que cualquier transformación lineal puede ser representada como una matriz de esta manera y la podemos representar así tomando a nuestra matriz identidad entonces lo que voy a hacer de chinos ya lo has visto antes esta matriz identidad con una filas y n columnas donde se mira así un uno aquí después en un 0 2 después 0 1 y todos los demás son ceros como puedes ver solo tiene unos en la diagonal principal es una matriz de n por n entonces tomas la matriz identidad y le aplicas la transformación lineal a cada columna ajá entonces estas son las columnas de la matriz identidad y las las llamamos la base estándar de rn ésta es la columna 1 esta es la 2 y como tienen columnas esta es la n ahora cada una de estas columnas es un miembro de rn tienen elementos y sabemos que puede ser representada como la transformación que está siendo aplicada a cada columna entonces a es igual a la transformación aplicada a la primera columna hay 1 después la transformación aplicada a 2 hasta llegar a la transformación aplicada n y esto es algo que sirve mucho saber porque porque es muy fácil aplicar la transformación lineal a cada uno de estos vectores que pertenecen a la base estándar cierto solamente tienen un solo uno y todo lo demás es cero entonces son muy muy amigables y estos vectores unitarios ahora como tú puedes ver esto es un repaso entonces vamos a usar esto para para construir una transformación lineal interesante así que manos a la obra vamos a iniciar con un conjunto en rn y de hecho ya a todo todo lo que voy a hacer es nn r2 solo para no complicar tanto la vida pero tú lo puedes extender a cualquier dimensión que quieras solo que lo voy a hacer yo en r2 para la simplicidad supongo digamos que tengo yo un triángulo entonces tengo un triángulo formado por los siguientes tres puntos digamos que el punto este punto es el 3 2 el 3 2 ahora también el otro punto sería que te parece y menos 32 ok este punto es menos 32 o bueno lo estoy haciendo en forma de efecto al columna de hecho aquí puse a 3 sobre 2 no es una fracción me equivoqué lo siento es menos 32 y 32 son los vectores columna entonces ahí está ese punto o ese vector y ahora sólo por diversión uno por acá por abajo que te parece el vector 32 entonces no tres menos dos perdón tres -2 ahí está ahora bien entonces ese punto está más o menos por aquí ya tenemos los tres puntos cada uno de estos puntos son vectores yo puedo dibujarlo saliendo del origen a cada uno de estos puntos son vectores entonces muy bien más que más que importarme que sean vectores lo que me importa es la posición que especifican y sabemos que si tomamos al conjunto de todas las de todos los vectores que forman este triángulo sería en el conjunto que conectan a estos tres puntos cierto ok ahora a ese conjunto que conectan a estos tres vectores o lo que sería el triángulo mismo le vamos a aplicar la transformación lineal a cada uno entonces le aplicamos la transformación lineal t a estos puntos y los conectamos en el mismo orden de hecho ya lo hemos visto eso antes pero ahora queremos diseñar una transformación lineal entonces ok perfecto digamos que queremos de hecho de hecho lo que voy a hacer es escribir lo que queremos hacer voy a escribirlo lo que queremos hacer primero que todo es reflejarlo sobre el eje de las x entonces queremos reflejarlo sobre el eje de las equis o no mejor no mejor en el egezy ok reflejarlo sobre el eje de las 'íes' así que queremos voltear los queremos voltearlo y una vez que lo volvemos se va a mirar algo así cierto algo así se va a mirar y también digamos que queremos alargarlo por un por un 2 entonces queremos reflejarlo sobre el eje de la sien y también queremos alargarlo en la dirección en la dirección y por 2 así que vamos a primero voltearlo se va a mirar algo así esto sería como el el paso 1 cierto el paso uno es voltearlo esto es paso 1 y el paso 2 es alargarlo se mirará en lugar de así se va a mirar como tendrá como el doble de altura ahora el la x se va a quedar igual y ok como hacemos eso la primera idea que tenemos es reflejar sobre el eje de las yes entonces creemos que este punto este punto el menos 3 el menos 3 está aquí ajá el menos 32 que esa coordenada que desde el otro lado con un 3 positivo este 2 aquí es la coordenada jr este es el eje de las yes ok entonces tenemos menos 32 queremos que que esté menos 3 se convierta en un 3 positivo queremos que quede que terminen en este otro punto correspondiente cuando cuando le demos la vuelta este 3 positivo también queremos que se convierta en 3 negativo y este 3 positivo también 3 negativo ahora como tú puedes notar lo que estamos haciendo es es algo es voltear el signo cierto estamos reflejando sobre y eso es equivalente a cambiar el signo de la coordenada x entonces esto esto es equivalente lo escribo por acá es equivalente a multiplicar menos 1 por la coordenada la coordenada que voy a llamar x 1 esto es esta es la coordenada x 1 al alargar al alargar esto en la dirección y eso significa que queremos que para cualquier altura que yo tome quiero que sea el doble ahora eso es alargarlo entonces esta coordenada en la coordenada 32 no de hecho aquí no he hecho el primer paso aún pero quiero que quiero que se se quiero que tenga el doble de altura entonces en lugar de hacer 3,2 será 3.4 lo que estoy haciendo es multiplicar por 12 a la coordenada jet y en lugar de llamar a estos a las entradas del vector x x1 y x2 voy a ponerles el nombre de xy y entonces el vector es igual a xy como coordenadas esas son las coordenadas del vector xy ahora no temas por tu vida porque simplemente es notación aquí lo que estoy haciendo es facilitar la existencia de nosotros porque estamos acostumbrados a ver un vector en su forma x y en lugar de x 1 x 2 y xy llevan a corresponder con los ejes de coordenadas cierto entonces queremos queremos construir una transformación una transformación de algún vector x que o mejor escribo de esta otra manera la transformación de x y jane esto va a ser igual a 1 - 1 x x entonces menos 1 por x y ala y al hielo multiplicó por 2 2 así que hacía así es como lo puedo escribir en su lenguaje de transformación lineal este sería el lenguaje de transformación lineal pero pero cómo puedo construir una matriz para esto lo que lo que vamos a hacer es tomar estamos en el re 2 entonces voy a tomar la matriz identidad en el re 2 que sería esta matriz 1 0 0 1 y le voy a aplicar la transformación a cada columna de esta matriz identidad entonces lo voy a hacer que vamos a obtener tenemos tenemos una ninguna nueva matriz es cierto tenemos una nueva matriz y esto será igual a la transformación aplicada a cada columna entonces la transformación de la primera columna que sería la columna 1010 y después la segunda transformación o la segunda columna de esta nueva matriz sería la transformación aplicada a la segunda columna de la identidad que sería 01 y ahí lo tenemos entonces a que es una igual estas dos nuevas columnas la transformación de la primera columna sería ok vamos a hacerlo a pie tenemos a es igual a la transformación de 10 eso es x es 1 entonces lo multiplicamos por menos 1 y tenemos menos 1 después 2 por qué pero y es igual a 0 entonces tenemos 0 ahora el segundo término tenemos menos x es 0 simplemente de 0 y 2 porque es igual a 2 por 1 eso es igual a 2 tenemos entonces menos 1 002 ahora podemos decir que esta transformación algún vector xy entonces la transformación de xy la podemos describir como una matriz que multiplica a un vector entonces esa es la matriz menos uno menos 10 menos 10 y 0 2 multiplicando al vector x y ahora hay que aplicarlo para verificar que si funciona es cierto porque queremos ver que en efecto lo refleja lo alarga así que pongo primero este vector este punto rosa es este vector cierto ese es el punto entonces vamos a efectuar las operaciones sobre este vector y lo que voy a hacer es poner la matriz pongo la matriz menos 1 002 que multiplica al vector menos 32 entonces tenemos una multiplicación de una matriz por un vector así que hagamos esto menos 1 x menos 3 estrés positivo +0 por 20 entonces nos queda un 3 positivo y después 0 x menos 30 después más dos por dos es cuatro así que nos queda 34 entonces lo que ya tenemos ese ahora vamos con el siguiente punto que es 32 entonces ok muy bien vamos con ese siguiente punto 32 pongo la matriz menos 10 y 0 2 multiplicando al vector 32 entonces tenemos menos 1 por 3 es igual a menos 3 y después 0 por 20 entonces tenemos menos 3 ahora 0 por 3 es igual a cero más 2 por 2 es igual a 4 nos queda el vector menos 34 y ese punto está justamente justamente por aquí aquí está menos 3 y 4 entonces ok aquí aquí estoy usando la terminología se le puede decir a esta transformación aplicada a cada uno de estos vectores entonces tú puedes decir hola a la transformación mapea este punto a este punto o lo convierte o lo transforma pero es simplemente tan bueno estoy diciendo que ese punto es transformado a este otro punto en r2 entonces ahora vamos con el siguiente tenemos la matriz multiplicando al siguiente vector que es el vector 3 - 2 entonces aquí menos 1 por 3 es igual a menos 3 y 0 por menos 12 0 entonces nos queda menos 3 ahora 0 por 13 0 más 2 por menos 2 es igual a menos 4 tenemos entonces el punto menos 3 menos 4 ese punto está más o menos por aquí menos tres menos cuatro y sabemos que sabemos que el conjunto de r2 que como que conecta estos puntos bajo la misma transformación se será mapeado al conjunto r2 que conecta a estos puntos en este otro lado cierto entonces así que la imagen de este conjunto que dibuje de este triángulo es simplemente un conjunto de puntos que especifican a este otro conjunto de vectores entonces la imagen de este conjunto de vectores no se específica a estos puntos este este nuevo triángulo que tenemos bajo la transformación de aquellos de aquel conjunto de puntos entonces bueno excelente hicimos o ha hecho esta transformación lo que queríamos que hiciera cierto lo reflejó primero y después lo alargó entonces vemos que lo alargó por un con un por un factor de dos y lo volteó y de hecho en general cualquiera de estas operaciones puede ser una tránsfuga no puedes transformar lo bueno es decir puedes regresar t o regresar a la forma original entonces tú puedes escribir la transformación en esta forma y aplicarle esto a los vectores base a las columnas de la matriz identidad pero no general es que cualquiera de estas transformaciones que literalmente lo que lo que hacen es alargar o reflejar o de hecho hacernos pequeño lo que sea es la está en la dirección del eje x o del eje y serán o no serán matrices diagonales entonces como puedes ver aquí también la matriz a es una matriz diagonal estas serán las transformaciones en las matrices diagonales porque bueno solamente tienen términos no nulos en la diagonal cierto este es el caso 2 x 2 si hago el caso 3 x 3 tendríamos ceros por todas partes menos en la diagonal principal ahí habrían números no nulos y tiene mucho sentido porque este primer término es esencialmente lo que estás haciendo al x 1 al término x 1 si tienes por ejemplo una matriz de 3 x 3 este tercer término es lo que les des a la tercera dimensión a la cuarta dimensión es el siguiente término entonces tú puedes expander esta idea a rn arbitrario cierto a cualquier dimensión pero en fin de hecho lo que la idea general de este vídeo era introducirte a esta idea de crear de diseñar transformaciones para cualquier dimensión y creo que lo hemos logrado bueno nos vemos