Espacios vectoriales generados y ejemplos de independencia lineal

aquí tengo estos tres vectores que viven en r3 que viven en el espacio y lo que quiero hacer con el conjunto que contiene estos tres vectores es probar lo mismo que ya hemos visto en los vídeos pasados es decir lo que quiero hacer es aplicar todo lo que hemos aprendido en los vídeos pasados a este conjunto de tres vectores y bueno las preguntas que nos hacíamos más usualmente cuando tenemos un conjunto de tres vectores o de n vectores en rn era saber si estos vectores en primer lugar que espacio vectorial generaban eso era muy importante saber si el espacio vectorial era r 3 en este caso fíjate que como tenemos tres componentes el espacio generado si fueran linealmente independientes sería entre 3 pero bueno esto lo que nos queremos preguntar y además nos preguntábamos si estos vectores eran linealmente independientes o linealmente dependientes linealmente independientes o dependientes bueno pues y bueno yo sé que me vas a decir que la segunda pregunta responde sin problema la primera pregunta sin embargo siempre que pensemos en dependencia o independencia lineal es muy bueno hacernos estas 2 ya sea por separado o juntas y tratar de resolverlas bueno vamos a ver qué onda con estos vectores y son linealmente independientes o linealmente dependientes entonces no voy a tomar una combinación lineal de esos vectores y va a ser esta hace uno que multiplica el primer vector más c 2 que va a multiplicar el segundo vector el segundo vector es del 2 13 + c 3 que va a multiplicar al tercer vector que es el menos 1 0 2 y bueno yo voy a ver si esta combinación lineal que yo tengo aquí me da cualquier vector recuerda que en el vídeo pasado vimos que si nosotros igualdad vamos al vector 0 nos dábamos cuenta si era linealmente dependiente o linealmente independiente sin embargo en esta ocasión me voy a querer tomar cualquier vector para ver si dado cualquier vector en r3 fíjate tienen tres componentes dado cualquier vector en r3 lo puedo escribir con una combinación lineal de todos los demás es exactamente lo mismo que lo que vimos en el vídeo pasado sin embargo en esta ocasión yo lo que quiero es tomarme a un vector a un vector cualquiera en r3 y ver si lo puedo generar lo voy a ver con un poco más general así que bueno lo que aprendidos que si tenemos una constante afuera de un vector la constante multiplica a cada una de las entradas de este vector por lo tanto vamos a poner esta constante que adentro c1 c1 c1 y después tengo otra constante que multiplica traductor entonces voy a meterse 2 multiplicando a cada una de las entradas del segundo vector y de manera análoga para hacer 3 voy a poner ese 3 a esta constante multiplicando a cada una de las entradas del vector 3 y bueno ya esto se ve mucho más tranquilo porque ya podemos encontrar aquí nuestro sistema de ecuaciones tenemos tres incógnitas tres ecuaciones y entonces vamos a escribir las dados los tres vectores primero me voy a fijar en la primer componente o en la componente xy me queda que ese 11 por ser 1 s 1 más dos veces 2 - 1 por 7 3 que ese 3 esto es igual aa esto es la en primer lugar esta sería mi primera actuación con un componente x ahora vamos a fijarnos en mi segunda componente en mi componente y vamos a hacer su respectiva igualdad me quedaría que menos 1 y a esto le agrego c2 y después me queda más 0 c 3 pero 0 por lo que sea es 0 entonces esto se cancela es igual a b ya tengo un segunda ecuación que sale de la segunda componente y ahora me voy a fijar en mi tercer componente y que da dos veces uno más tres veces 2 y esto tengo que agregar dos veces tres más dos veces de tres esto tiene que ser igual a c y si te das cuenta aquí ya tengo tres ecuaciones y tres incógnitas y yo lo que quiero saber es el valor para hacer uno para este 2 y para hace 3 por lo tanto lo único que tengo que resolver es este sistema de ecuaciones si te das cuenta en la ecuación número dos nos parece ese 3 pero a mí es lo que se me ocurre es tomar la ecuación número uno y la cuestión número dos e intentar cancelar se uno porque segundo se cancela luego luego aquí tengo a menos c 1 arriba tengo hace uno y después puede operar con la ecuación 2 y con la ecuación 3 y también cancelar hace 1 al final lo que quiero que veas es que voy a utilizar el método de eliminación o de suma y resta para yo poder obtener los valores de c1 c2 y c3 así que bueno juntemos la ecuación número 1 y la ecuación número 2 de estas dos que me va a quedar si hago suma directa de estas dos me queda que ese 1 menos uno se cancelan y no me queda nada después me queda 12 2 más 2 me quedan tres veces c 2 y después tengo menos de 3 +0 pues es menos de 3 aquí no hay ningún problema entonces me queda menos 3 y después me queda a más bien esto es igual aa más veo además a este sumando estas dos ecuaciones entonces me queda de massa y bueno ya tengo una ecuación que solamente tiene hace dos y hace tres por lo tanto tengo que encontrar otra ecuación que solamente tenga c2 y c3 y voy a poner acá arriba la primera actuación para que no nos vayamos perdiendo con ella me quedase 12 veces c2 c3 igual a esta ecuación la primera me va a servir para despejar al final ese 1 y bueno ahora voy a ocupar la tercera ecuación y la primera ecuación y voy a cancelar también hace 1 para que me quede mi segunda ecuación que tenga que ver solamente con c2 y c3 por lo tanto voy a multiplicar por menos 2 de ecuación de arriba y me va a quedar menos 2 que va a multiplicar hace 1 me queda - 12 1 esto es con la idea otra vez de cancelar hacer uno y después me quedan menos cuatro ceros aquí usted vuelve positivo porque es menos por menos me da más más dos veces de tres y recuerda que hay que multiplicar toda la ecuación también hay que multiplicar el lado derecho y me quedaría menos dos veces y bueno ahora lo que voy a hacer para cancelar hace uno es sumarle cuestión número uno esta ecuación modificada con la ecuación número tres y entonces que voy a obtener me quedan menos 12 112 1 esto se cancelan por lo tanto no se pone nada después me queda tres veces dos menos cuatro ceros es lo mismo que menos de dos o menos cuatro ceros más 13 2 es lo mismo que menos de 2 y después nos queda dos veces de tres más dos veces de tres esto es lo mismo que cuatro veces c3 entonces menos de dos más cuatro veces tres esto es igual a c menos dos a menos dos más de entonces esto es igual hace menos dos a menos 2 y si te das cuenta ya tengo otra ecuación la cual tiene que ver solamente con c2 y c3 ya elimine mi primer incógnita un sistema de dos por dos así que déjenme poner la pantalla un poco más hacia la derecha para que se vea bien lo que voy a hacer me queda que la primera ecuación de la c-12 bc2 bc3 igual am esta ecuación me va a servir al final después me va a quedar que tres veces de 2 menos de 3 es igual además am es la segunda ecuación tres veces de 2 - c 3 es igual a b masa y ya no tengo espacio entonces déjenme poner la pantalla más hacia la derecha para que quede mucho espacio muy bien y ahora de estas dos ecuaciones voy a cancelar hace 2 si te das cuenta aquí tengo hace 2 negativo por lo tanto si yo multiplico esta segunda ecuación por 3 solamente por 3 se va a cancelar se 2 cuando yo la sume con la primera y que me va a quedar bueno voy a multiplicar por tres la segunda ecuación y que voy a obtener me queda 3 por menos de 2 esto es lo mismo que menos 3 bs 2 con tres veces 2 se va a cancelar entonces vamos bien ok déjenme poner aquí el 3 entonces escribo me parece bien que les vaya cancelando una por una y vamos a ver qué es lo que me resulta después no queda 3 4 12 12 1 es lo mismo que 11 3 entonces esto es 11 s 3 vamos a ver si lo hice bien 4 por 3 son 12 12 menos uno es 11 s 3 perfecto y después me va a quedar 3 porsche menos 2 a también por escribirlo siempre este se cancela aquí me queda 12 ese 3 - 1 es 11 s 311 s 3 y después tengo a 3 x c menos 2 es lo mismo que 13 menos 6 y lo voy a escribir todo el recorrido y ahorita lo simplificamos me queda 13 menos 6 am y arriba tengo de más a entonces más b más y después vamos a operar con lajas es menos 6 y ya esto hay que sumarle b massa es decir la ecuación de arriba pero antes de simplificar las haz lo que quiero que te des cuenta es que voy tras el valor de ese 3 si yo tengo el valor de ese 3 por lo tanto no puede sustituir en la segunda ecuación y entonces voy a obtener el valor de ese 2 y ya con el valor de ese 2 y de c3 voy a poder sustituir en la ecuación número 1 así obtener el valor de ese 1 también atrás eso es lo que voy y bueno aquí se pueden reducir las hadas como te había dicho menos 6 más me queda menos 5 am y ya obtengo que 11 bcs 3 es lo mismo que 13 menos 5 a ver entonces déjame darte el valor de este 3 ya despejada c 3 es igual a un onceavo voy a pasar dividiendo el 11 entonces me queda un onceavo que multiplica a 3 cm menos 5 am y ya tenemos hace 3 ya tenemos un paso de aquí porque ya obtenemos el valor de ese 3 si nosotros lo que queremos es también saberse 2 pues lo único que hay que hacer es despejar hace 2 de esta ecuación porque ya tenemos el valor de ese 3 y de hecho nos quedaría que tres veces de 2 es igual a b más a más de 3 el valor de ese 3 que acabo de encontrar o dicho de otra manera si lo que quiero saber es el valor de ese 2 completamente despejado entonces me va a quedar que ese 2 es igual a un tercio estoy pasando dividiendo el 3 que multiplica a b más c3 ok ya tengo el valor de ese 2 ya tengo el valor de es de 3 por lo tanto ya puedo saber el valor de ese 1 dada la primera ecuación por eso las escribía yo aquí arriba si yo paso del otro lado hace 3 12 2 entonces voy a obtener el valor de c1 c1 es igual a am ya esto le voy a quitar menos 2 veces 2 y después voy a agregarle ese 3 lo único que hice fue despejar hacia uno de la primera ecuación y ya por fin obtuve el valor de ese 3 c 2 y c 1 y entonces estoy diciendo que para cualquier a b y c dado cualquier vector que tenga tres componentes que sean a b y c yo voy a obtener el valor de ese 3 c 2 y c 1 y recuerda que lo más importante aquí es no equivocarnos y creo que me equivoqué yo siento que hay algo raro aquí oh claro ya vi dónde está en error si te das cuenta c 3 es igual a 1 si hago de tres veces menos 5 a ya esto hay que agregarle b aquí estaba la b que me falta te das cuenta entonces a esta vez no la puse en esta de aquí entonces adentro del paréntesis de c3 le tengo que agregar esta vez ya sabía yo que por aquí algo me haría mal aquí está más verde y entonces ya tengo por fin ahora si bien el valor de ese 3 y bueno ya que estamos en esto de genéticas y las otras dos constantes también se 2 es igual a un tercio debe más a más de tres lo único que hice fue despejar este 2 aquí está hace tres que ya la corregir hice unos y ya tengo este 3 entonces déjeme ver c 2 estaba bien un tercio debe más a más de 3 esto en la ecuación de acá arriba y entonces ese 2 también está bien y cc 2 también está bien entonces se 1 es igual a am menos dos veces dos más c 3 esto por la ecuación número uno por lo tanto también está bien muy bien y ya tengo a mis tres constantes escritas en términos de a b y c esto que quiere decir que dado cualquier vector en r3 cualquier vector que tenga como componentes a b y c yo te voy a poder dar una c 1-1 2 y 1 c 3 tales que al hacer una combinación lineal con mis vectores pueda obtener este vector lo que quiere decir que el espacio generado por estos tres vectores por este conjunto es r 3 y ya tengo la respuesta a mi primer pregunta ahora estos vectores son linealmente independientes y esta es la pregunta que quiero responder a continuación ya sé que el espacio vectorial generado por estos tres vectores es r 3 pero ahora para probar si son linealmente independientes o dependientes lo que voy a hacer es tomar una combinación lineal de estos tres vectores otra vez con c1 c2 c3 pero utilizando la información que vi en el vídeo pasado voy a igualarlo al vector 0 la idea es que igualando esta combinación lineal al vector 0 me voy a dar cuenta si los vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes recuerdan en el vídeo pasado vimos que esto pasaba si solo si era el vector 0 y además pedíamos una restricción muy importante la restricción que pedíamos era la siguiente nos íbamos a fijar en las constantes y si la única forma de obtener esta combinación lineal es que las constantes sean todas pero es decir c1 y c2 y c3 al mismo tiempo sean iguales y sean igual a cero entonces quería decir que mi conjunto tenía vectores linealmente independientes se acuerdan y por lo tanto obtenía tres dimensiones esto es si eran linealmente independientes así que dejan escribirlo para que no se nos olvide atrás lo que vamos dice uno y c2 y c3 son iguales es decir se uno igual hace dos igual hace tres y además son iguales a cero entonces esto implicaba que el vector eran linealmente independientes este es un sí solo si el vector fuera dependiente lo que nos íbamos a encontrar es que al menos una de estas constantes ya sea c1 c2 c3 tenía que ser distinta de cero con una me bastaba para decir que el sistema era linealmente dependiente pero bueno este vector cero es lo mismo que tener tres componentes la componente a b y c y nosotros generamos unas igualdades de c1 c2 y c3 que dependen de a dvi de c por lo tanto vamos a sustituir el valor de abc que en este caso es 0 una de mis ecuaciones que yo tengo aquí tengo que ese 3 es igual a un onceavo que multiplica a 3 por 0 menos 500 pues estos 000 y al final un onceavo por 0 me da que ese 3 también es cero entonces este 3 también es cero 0 - 0 0 por un onceavo es cero ahora vamos a aplicarnos el c 2 c 13 00 b es cero y un tercio por cero me va a dar también que ese 12 0 y vamos a fijarnos en c 1 c 3 0 c 2 también es 0 a también es 0 entonces me queda que ese 1 pues es igual a 0 también y te das cuenta estoy obteniendo que mis tres constantes tanto c1 c2 c3 son igual a 0 cuando se cumple esta combinación lineal la única solución de esta combinación lineal es que mis tres constantes sean cero cuando yo quiero que el primer vector por ser uno más el segundo vector por de dos más el tercer vector por ese 3 sea igual al vector cero tiene que cumplir que forzosamente c1 c2 y c3 sean las 30 lo que implica que el sistema o que este conjunto tiene los vectores linealmente independientes recuerdan en el vídeo pasado habíamos visto que si pasaba que las tres constantes sean igual a cero entonces mi conjunto tenía vectores linealmente independientes o recuerdan otra forma de verlo es que ninguno de estos tres vectores se puede ver como una combinación lineal de los otros dos y entonces tengo tres vectores que su espacio vectorial generado seré 3 y que son linealmente independientes y bueno tal vez esta información sea un poco más obvia porque al final lo que te quería contener los siguientes si tenemos tres vectores y son linealmente independientes pues es muy claro que van a generar a todo r3 o dicho otra manera tenemos tres vectores y su espacio generado es r 3 entonces tienen que ser linealmente independientes porque al final cada uno de ellos está agregando una nueva dirección pues imagínate que uno de ellos supongamos el tercero no fuera linealmente independiente de los otros dos es decir se puede ver como una combinación lineal de los otros dos esto quiere decir que entonces vive en el espacio vectorial generado por los otros dos vectores que al final si tenemos dos vectores que son en linealmente independientes entonces su espacio el generador es un plano te acuerdas que eso lo vimos en los vídeos pasados por lo tanto este tercer vector tendría que existir en ese plano y por lo tanto no podrían generar como espacio vectorial a r3 recuerda que si tenemos tres vectores que son linealmente independientes cada uno de ellos da una nueva dirección tal vez no sean forzosamente ortogonales pero puede ser que un vector se vea si el otro se ve así y el otro se vea por acá y entonces generen tarde o temprano todo r3 nos vemos en el siguiente vídeo