Introducción a la optimización con restricciones

hola a todos en los siguientes vídeos voy a estar hablando acerca de diferentes tipos de ejercicios de optimización algo llamado un ejercicio de optimización con restricciones así que imagina que tenemos el siguiente ejercicio nos piden maximizar un tipo de función multi variable así que déjenme notarlo queremos maximizar una función que les voy a poner el siguiente nombre voy a decir que quiero maximizar efe de x james es una función multi variable y voy a decir que esta función es igual a x cuadrada por jim ok entonces lo que quiero hacer es maximizar esta función pero le voy a poner una restricción la restricción es esta quiero encontrar el máximo de esta función en el conjunto y voy a pensar en el circulo unitario en el conjunto x cuadrada y cuadrada igual a 1 observa esto de aquí es el círculo unitario déjame notarlo este de aquí es el círculo unitario así que una manera en la que podrían pensar un ejercicio como éste ya saben estás optimizando una cierta función de dos variables es pensar en la gráfica de esa función como lo que tengo aquí a la izquierda esta es la gráfica de f de xy igual a x cuadrada por james y ahora esta restricción que tengo aquí básicamente es un subconjunto del plano así que si vemos por encima de la gráfica y vemos el plano x en este círculo de rojo representa todos los puntos x m tales que x cuadrada más cuadrada es igual a 1 y lo que en realidad dibuje aquí no es un círculo en el plano x james pero lo he proyectado en la gráfica así que esto básicamente les está mostrando los valores que contiene esta restricción y además como se ve cuando se grafican así que la manera en la que pueden pensar un ejercicio común este que tengo aquí es observando este círculo este tipo de círculo proyectado en la gráfica y buscar los puntos más altos y aquí podrás notar una especie de pico en este círculo ondulado y por acá hay otro y luego también puedes buscar los puntos más bajos que estarían ya saben alrededor de este punto de kim y alrededor de aquí ahora esta forma de ver el problema de una manera gráfica es adecuada pero en realidad hay una mejor manera de visualizarlo es decir usar los términos adecuados para encontrar la solución real y la mejor manera de verdúm es trabajando sólo en el plano xy en lugar de tratar de graficar cosas y solo limitar nuestra perspectiva al espacio de entrada así que lo que tengo aquí son las curvas de nivel para amd fx igual a x cuadrada james y si no están familiarizados con la idea de las curvas de nivel o de mapas de curvas de nivel tengo un vídeo sobre este tema al cual pueden regresar y echarle un vistazo ya que este concepto va a ser fundamental para los siguientes vídeos que trabajemos pero básicamente en cada una de estas representa cierto valor constante de f entonces por ejemplo uno de ellos podría representar todos los valores de x de yemen donde el fbi james f de x james esto fuera no sea igual a 2 se me ocurre bien así que si ven todos los valores de x y donde fx es igual a 2 encontrarás una de estas curvas y cada curva representa un posible valor diferente para tu constante así que lo que voy a hacer por aquí es sólo acercarme a una curva de nivel en particular y lo que voy a querer hacer es cambiar cuánto vale la constante a la cual está igualada efe de xm y observen como la curva de nivel cambian como resultado de esto así que si borro esto y pensemos en que voy a ver a efe de xy igual a la constante 0.1 entonces como se va a ver esta efe de que james es igual a 0.1 entonces todos los valores en estas dos curvas de nivel les dicen que valores de x de james satisfacen 0.1 pero por otro lado también podría desplazar de estas curvas de nivel y voy a fijar las donde la constante en realidad sea igual a 1 es más vamos a escribirlo por separado voy a ponerlo por separado y ahora me voy a fijar en qué es lo que pasa con efe de x james y ahora lo voy a igualar a otra constante a la constante uno bueno observa que por aquí hay algunos valores como 0.1 donde esta curva de nivel interese acá al círculo intersectan con nuestra restricción y vamos a pensar en lo que eso significa bueno eso quiere decir que si hay un punto xy un punto x que cumpla que ft que sea igual a 0.1 y que además cumpla que x cuadrado más que cuadrada esto sea igual a 1 porque cumple estas dos cumplen nuestra función y cumple nuestra restricción entonces esto básicamente nos va a dar un par de números xm tales que esto de aquí sea verdadero y de hecho podemos ver que hay cuatro pares diferentes de números donde esto es verdadero donde intersectan justo aquí y aquí y las otras dos simétricamente de este lado pero por el otro lado si vemos a este como otro escenario donde desplazamos la línea arriba de fx igual a 1 ésta nunca se intersecta con la restricción es decir eso significa que si tomas un par de números esta vez x gent x gent que satisfagan esta ecuación que tenemos aquí en esta ocasión estamos fuera de la restricción entonces déjame escribirlo estamos fuera fuera de x cuadrada más 10 cuadrada esto igual es decir a medida de que tratamos de optimizar esta función sujeta a esta restricción es que no podemos ir tan arriba como 10.1 sería alcanzable y de hecho si podemos regresar y observar en 0.1 que si subimos ese valor a 0.2 entonces también es posible ya que se intersecta con el círculo observa y de hecho pueden jugar con eso e incrementar de un poco más y si bojan a 0.3 es más déjenme escribirlo en lugar de 0.2 ahora pongo a 0.3 a 0.3 entonces también es posible y básicamente lo que estamos tratando de hacer es encontrar el valor máximo que podamos poner en fx y el valor máximo de modo que si observamos la línea que representa fx james igual a ese valor todavía enter cerca con el círculo y la clave aquí en la observación clave es que ese valor máximo ocurre cuando estas líneas y el círculo son tangentes en el vídeo siguiente empezar a entrar de cómo podemos usar esa observación es decir esta noción de tangencia para resolver el ejercicio dicho otra manera para encontrar el valor real de x de que optimicen esta función efe igual a x cuadrada james sujeta a esta restricción pero en el intermedio entre éste y el próximo vídeo quiero que reflexione sobre esto y piensas un poco acerca de cómo podrías usar la tangencia entre estas dos curvas es decir que significa tangencia y cómo pueden sacar provecho de otras ciertas nociones que hemos aprendido del cálculo multivariable como pista piensa en el gradiente que en realidad resuelve ejercicios como este así que con esto acabo en este vídeo y los veo en el siguiente