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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 3

Lección 4: Optimizar funciones multivariables (artículos)

Ejemplos: criterio de la segunda derivada parcial

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Practica del uso del criterio de la segunda derivada parcial.

Antecedentes

Criterio de la segunda derivada parcial

Prepárate para el esfuerzo

Tenemos un desafío para ti.

En este artículo, podrás seguir los pasos en dos ejemplos de determinar máximos y mínimos de funciones multivariables. En aplicaciones modernas, la mayoría de los pasos involucrados para resolver este tipo de problemas se realizan en computadora. Sin embargo, la única manera de probar que realmente entiendes cómo se usa el criterio de la segunda derivada parcial es que lo resuelvas completo por ti mismo, al menos una vez.

Después de todo, puede ser que algún día necesites escribir el programa para decirle a una computadora cómo hacerlo, lo que requiere saber todos los pasos involucrados. Además, es una buena manera de volverte más hábil con las derivadas parciales.

Así que nuestro reto para ti es este: trata de ingresar la respuesta a cada paso mientras lees el artículo, y así poner a prueba tu propia comprensión.

El criterio de la segunda derivada parcial (como referencia)

Empieza por encontrar un punto

(x_{0}, y_{0})

donde ambas derivadas parciales de

f

sean

0

\begin{array}{r} f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0 \end{array}

El criterio de las segunda derivada parcial nos dice cómo determinar si

(x_{0}, y_{0})

en un máximo o mínimo local, o un punto silla. Empezamos por calcular este término:

$H = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - (f_{x y} (x_{0}, y_{0}))^{2}$ ‍

donde

f_{x x}

f_{y y}

f_{x y}

son las segundas derivadas parciales de

f

Si $H < 0$ ‍, entonces $f$ ‍ no tiene ni mínimo ni máximo en $(x_{0}, y_{0})$ ‍, en cambio tiene un punto silla.
Si $H > 0$ ‍, entonces $f$ ‍ definitivamente tiene un máximo o mínimo en $(x_{0}, y_{0})$ ‍ y debemos fijarnos en el signo de $f_{x x} (x_{0}, y_{0})$ ‍ para averiguar cuál de los dos es.
- Si $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ‍, entonces $f$ ‍ tiene un mínimo local.
- Si $f_{x x} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ‍, entonces $f$ ‍ tiene un máximo local.
Si $H = 0$ ‍, al considerar solo las segundas derivadas no podemos decir si $f$ ‍ tiene un mínimo o un máximo local.

Ejemplo 1: ¡todos los puntos críticos!

Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función

\begin{array}{r} x^{4} - 4 x^{2} + y^{2} \end{array}

y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.

Paso 1: encuentra todos los puntos críticos

Los puntos críticos son todos los pares

(x_{0}, y_{0})

donde ambas derivadas parciales son iguales a

0

. Primero calculamos cada derivada parcial

f_{x} (x, y) =

f_{y} (x, y) =

Después, encuentra todos los puntos

(x_{0}, y_{0})

donde ambas derivadas parciales son

0

, que equivale a resolver el sistema de ecuaciones

\begin{aligned} f_{x} (x_{0}, y_{0}) & = 0 \\ f_{y} (x_{0}, y_{0}) & = 0 \end{aligned}

¿Cuáles de los siguientes pares de puntos satisface el sistema de ecuaciones?

Al sustituír las derivadas parciales, el sistema de ecuaciones se ve así

\begin{aligned} 4 x^{3} - 8 x & = 0 \\ 2 y & = 0 \end{aligned}

Hemos sido afortunados, pues la primera ecuación solo involucra a

x

, y la segunda ecuación solo a

y

, así que en este caso resolver el sistema significa determinar cada punto por separado.

La primera ecuación se factoriza como

\begin{aligned} 4 x^{3} - 8 x & = 0 \\ 4 x (x^{2} - 2) & = 0 \end{aligned}

así que sus raíces son

x = 0

x = \sqrt{2}

x = - \sqrt{2}

La segunda ecuación solo tiene la solución

y = 0

Por lo tanto, los puntos críticos son

\begin{array}{r} (0, 0) (\sqrt{2}, 0) (- \sqrt{2}, 0) \end{array}

Paso 2: aplica el criterio de la segunda derivada

Para empezar, encuentra las tres derivadas parciales de segundo orden de

f (x, y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}

$f_{x x} (x, y) =$ ‍
$f_{y y} (x, y) =$ ‍
$f_{x y} (x, y) =$ ‍

La expresión que nos importa para poder aplicar el criterio de la segunda derivada es

$f_{x x} (x, y) f_{y y} (x, y) - (f_{x y} (x, y))^{2}$ ‍

Si sustituimos las segundas derivadas que calculamos, ¿cómo se ve esta expresión (como función de

x

y

$f_{x x} (x, y) f_{y y} (x, y) - (f_{x y} (x, y))^{2} =$ ‍

Para aplicar el criterio de la segunda derivada, evaluamos la expresión en cada punto crítico y determinamos si es positiva o negativa.

Punto crítico 1:
En $(x, y) = (0, 0)$ ‍, el valor de la expresión es
$\begin{array}{r} 24 x^{2} - 16 = 24 (0)^{2} - 16 = - 16 \end{array}$ ‍
Es negativa, así que el criterio de la segunda derivada parcial nos dice que $(0, 0)$ ‍ es un

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Punto silla
(Elección B)
Máximo local
(Elección C)
Mínimo local

Punto crítico 2: en $(x_{0}, y_{0}) = (\sqrt{2}, 0)$ ‍, el valor de la expresión es
$\begin{aligned} 24 x^{2} - 16 & = 24 (\sqrt{2})^{2} - 16 \\ = 48 - 16 \\ = 32 \end{aligned}$ ‍

Que es positivo. También,

\begin{aligned} f_{x x} (\sqrt{2}, 0) & = 12 (\sqrt{2})^{2} - 8 \\ = 24 - 8 \\ = 16 \end{aligned}

Por lo tanto, el punto

(\sqrt{2}, 0)

debe ser un

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Punto silla
(Elección B)
Máximo local
(Elección C)
Mínimo local

Punto crítico 3: podríamos sustituir el punto $(- \sqrt{2}, 0)$ ‍ igual que hicimos con los otros puntos críticos, pero también podríamos observar que la función $f (x, y) = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍ es simétrica, en el sentido que reemplazar $x$ ‍ por $- x$ ‍ producirá la misma expresión:
$(- x)^{4} - 4 (- x)^{2} + y^{2} = x^{4} - 4 x^{2} + y^{2}$ ‍.
Por lo tanto el punto $(- \sqrt{2}, 0)$ ‍ tendrá exactamente el mismo comportamiento que $(\sqrt{2}, 0)$ ‍

Aquí se muestra una animación de la gráfica de

f (x, y)

mientras rota, donde los dos mínimos locales se ven claramente, y podemos ver que el origen es ciertamente un punto silla.

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Ejemplo 2: un problema más intrincado

No endulcemos las cosas; los problemas de optimización pueden ser largos, muy largos.

Problema: encuentra todos los puntos críticos (también llamados puntos estacionarios) de la función

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2} \end{array}

y determina para cada uno si es un máximo local, un mínimo local, o un punto silla.

Paso 1: encuentra los puntos críticos

Necesitamos encontrar los puntos donde ambas derivadas parciales son cero, así que empezamos por calcular las derivadas parciales de

f (x, y) = x^{2} y - y^{2} x - x^{2} - y^{2}

f_{x} (x, y) =

f_{y} (x, y) =

Entonces debemos resolver el sistema de ecuaciones

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \end{aligned}

En el mundo real, cuando te topas con un sistema de ecuaciones, es casi seguro que usarás una computadora para resolverlo. Sin embargo, para practicar y para que te des cuenta que los problemas de optimización no son siempre tan simples, hagamos algo loco y resolvamos el sistema nosotros mismos.

En general, la manera como podrías emprender esto es algo así:

Resuelve una ecuación para obtener $y$ ‍ en términos de $x$ ‍.
Sustitúyela en la otra expresión para tener una expresión solo con $x$ ‍.
Despeja $x$ ‍.
Sustituye la solución de $x$ ‍ en ambas ecuaciones y despeja $y$ ‍.
Verifica cuáles pares $(x, y)$ ‍ resuelven el sistema.

Esto puede ser un verdadero desastre, pues tal vez uses la fórmula cuadrática para resolver

y

tratando a

x

como una constante, y sustituyas esa horrible expresión en otro lado. De otro modo, puede que necesites resolver una ecuación de grado

4

que, además de ser como un dolor de muelas, da por resultado un montón de soluciones a sustituir.

En este sistema particular, las ecuaciones se antojan muy simétricas, lo que indica que sumarlas o restarlas puede simplificar el problema. Ciertamente, si las sumamos, obtenemos

\begin{aligned} 2 x y - y^{2} - 2 x & = 0 \\ + x^{2} - 2 x y - 2 y & = 0 \\ x^{2} - y^{2} - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y) - 2 (x + y) & = 0 \\ (x + y) (x - y - 2) & = 0 \end{aligned}

¿Qué implica esta ecuación respecto a la relación entre

x

y

(expresa cada respuesta como una ecuación que involucre las variables

x

y

Ya sea

Cada una de estas posibilidades nos permite escribir

x

en términos de

y

, que a su vez nos deja expresar alguna de nuestras ecuaciones solamente en términos de

y

Por ejemplo, si sustituyes la relación

x = - y

en la primera expresión,

2 x y - y^{2} - 2 x

, puedes obtener una fórmula cuadrática en términos de

y

. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?

Ya que todo esto salió de suponer que

x = - y

, los valores correspondientes de

x

son

x = - 0

x = - \frac{2}{3}

, respectivamente. Así, hemos obtenido nuestros primeros dos pares de soluciones:

(x, y) = (0, 0)

(x, y) = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

Alternativamente, si consideramos el caso

x = y + 2

, al sustituir esta expresión en

2 x y - y^{2} - 2 x

, obtenemos una expresión cuadrática en términos únicamente de

y

. ¿Cuáles son las raíces de esta expresión?

Ya que los encontramos bajo la suposición de que

x = y + 2

, los valores correspondientes de

x

son

x = 2 - 1 + \sqrt{5} = 1 + \sqrt{5}

x = 2 - 1 - \sqrt{5} = 1 - \sqrt{5}

Así, tenemos otros dos pares de soluciones:

(x, y) = (1 + \sqrt{5}, - 1 + \sqrt{5})

(x, y) = (1 - \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5})

Ahora ya hemos agotado todas las posibilidades, pues inicialmente encontramos que

x = - y

o bien que

x = y + 2

, y resolvimos completamente las ecuaciones que resultaron de cada suposición.

¡Date un buen aplauso!

Estos son problemas muy largos, y si de hecho los hiciste paso a paso, ¡te mereces una gran felicitación!

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javier.barreda
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Es posible que haya un so...” de javier.barreda
Es posible que haya un solo punto crítico? Cuando pongo 0 en lugar de alguna variable en una primera derivada hay un valor de infinito.
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