Acercamiento intuitivo al teorema de Stokes

he dibujado varias versiones de la misma superficie es decir de hecho sólo hice una superficie y la copié cinco veces hice cinco copias de ella y lo que quiero es que pensemos por un momento en el valor de una integral la integral de línea de cada uno de los campos vectoriales es decir estoy pensando en la integral de nuestro campo vectorial efe punto punto de r sobre la curva sé donde déjenme explicarles quién es cada cosa que en este caso es la curva que define a nuestra superficie es decir la curva en su frontera la curva es la frontera que define la región en el espacio de tres dimensiones de esta superficie de cada una de estas superficies y f es un campo vectorial o una función vectorial que está definida de forma distinta en cada uno de los casos ok entonces a partir de esto quiero yo ver o pensar en el valor de la integral de línea de cada uno de los casos cuando estamos cambiando el ejemplo del campo vectorial ok entonces vamos a iniciar en este primer caso este que está acá arriba y algo que hay que notar es que la curva que define esta superficie no es lo mismo recorrerla en el sentido de las manecillas del reloj que es hacia acá el sentido contrario entonces yo voy a recorrerlo en sentido contrario a las manecillas del reloj y vamos a ir viendo qué pasa con este con este valor de la integral entonces por ejemplo si empezamos aquí si vamos recorriendo la la superficie en esta dirección entonces notamos que nuestro recorrido sobre la trayectoria va en la misma dirección que el campo vectorial entonces en ese sentido esta integral en esta parte es positiva vamos a ver qué pasa si seguimos por aquí si vamos subiendo en ésta en este sentido digamos podemos pensar como que el campo vectorial que es constante es digamos ortogonal o qué es apendicular a nuestro recorrido entonces vamos a pensar que aquí en realidad estoy agregando nada es decir estoy agregando 0 a este a este valor de la integral sobre sobre esta curva que pasa cuando nos saltamos a esta región de la de la curva que define a la superficie es decir si ahora recorremos en esta dirección y déjenme poner bien las flechas y recorremos ahora en esta dirección estamos recorriendo en el sentido contrario en el que apunta el campo vectorial entonces en este caso el valor de la integral es negativo sobre este pedacito y bueno cuando bajamos cuando bajamos que estamos recorriendo esta bajada sobre la superficie aquí otra vez podríamos pensar que son ortogonales el recorrido de la trayectoria con digamos la dirección en la que apunta el campo vectorial entonces vamos a poner que es 0 que es lo que podemos notar si este campo vectorial es constante digamos estas longitudes son iguales entonces podríamos pensar que este valor negativo que está acá arriba es igual a este valor pero que acá abajo es positivo pero como son signos distintos en realidad se cancelan digamos esto es porque el campo vectorial es constante tenemos algunas propiedades de que sea la misma longitud en fin vamos a pensar que en efecto estas dos magnitudes se están cancelando ok entonces en este caso en este caso tenemos que la integral del campo vectorial punto de erre sobre la curva se es 0 ok en este caso se anulan ok está perfecto vámonos al siguiente caso a ver qué pasa con este si vamos recorriendo a lo largo de esta de este pedazo entonces tenemos que aquí otra vez coincide la dirección entonces tengo que el signo es positivo que pasa a la hora de ir subiendo cuando vamos subiendo otra vez podríamos pensar que es ortogonal verdad es decir este punto hacia arriba y esto es bueno este apunta la dirección de la trayectoria de forma verde vertical mientras que el campo vectorial ya sea aquí arriba o abajo apunta de forma horizontal entonces vamos a pensar que es 0 otra vez en este caso qué pasa cuando nos recorremos digamos esta sección entonces ahora a diferencia del caso anterior tenemos que coincide el campo vectorial con la dirección en la que recorremos la trayectoria entonces aquí le asignamos un valor y eso parece más bien como una estrellita un valor positivo muy bien y ahora finalmente cuando bajamos pues tenemos el mismo caso de que lo hacemos digamos de forma vertical y el campo vectorial apunta de forma horizontal así que tenemos cero cuál es la gran diferencia con el caso anterior aquí hubo un cambio en la dirección del campo vectorial verdad hubo un cambio en la dirección en esta parte de abajo apunta hacia la derecha y arriba apunta del lado izquierdo entonces en realidad podríamos pensar aquí bueno de hecho podríamos garantizar que la integral es positiva ok este valor es positiva el de la integral sobre la curva cerrada ahora esto a qué se debe pensemos lo por ejemplo en este en esta sección es en donde hubo un cambio en la dirección y podríamos pensar que tenemos por ejemplo un palito aquí tenemos un palito que está no sé digamos que este campo vectorial representa el campo de velocidades de un fluido por ejemplo aquí hay un fluido que se está moviendo y las flechas nos apuntan qué tan rápido y en qué dirección lo está haciendo entonces si ponemos un palito aquí lo que va a hacer este palito por digamos por acción del fluido del agua digamos es empezar a girar ok entonces este campo vectorial lo que tiene es un rotacional tiene un rotacional en rotacional ok y de hecho este rotacional es positivo sale este piensa que estar escribiendo tengo un rotacional positivo muy bien entonces cuál fue la gran diferencia en este caso tengo un rotacional es decir hay un cambio en la dirección que hace que a lo mejor un palito si está en un líquido pues empiece a girar no ok vámonos a nuestro tercer caso aquí por ejemplo si vamos recorriendo en esta dirección coinciden entonces otra vez le toca ser positivo pero el campo vectorial está diseñado para que cuando estemos subiendo coincida nuevamente con él con la dirección en la que recorremos la trayectoria y eso pasa también acá arriba ok y también ocurre cuando vamos bajando entonces en todos lados está ocurriendo el que coincide la dirección de la trayectoria en la que la recorremos con la dirección del campo vectorial ok entonces en este caso la integral de el campo vectorial a lo largo de nuestra curva es más positiva ok es más positiva aquí se deberá esto bueno en este caso podríamos ver que también tenemos cambios en la dirección y tenemos rotacionales podríamos pensar en el mismo ejemplo del palito que está girando pero aquí el campo vectorial de ayuda muchísimo entonces en este caso también podríamos decir que tenemos más rotación al que el caso anterior más rotacional será no sé quizás ya te está dando alguna idea que mientras más rotacional más positivo es esta es esta integral ok y en realidad efe lo que quiero notar ahorita es que efe la función en el campo vectorial puede hacer cosas muy locas afuera de esta superficie no no sé exactamente qué es lo que está haciendo pero dentro tiene esta configuración sólo nos interesa ver qué es lo que pasa dentro de la superficie vámonos con este cuarto caso por ejemplo entonces en este cuarto caso lo que vamos a tener es que si recorremos en esta misma dirección ok coincide completamente entonces tenemos que es positivo a like al a al ir subiendo ok otra vez digamos son ortogonales y tengo cero ahora cuando recorro esta parte hasta aquí tengo un valor positivo pero aquí ya hubo otra vez un cambio en la dirección entonces cuando recorro esta última parte digamos aquí voy a tener un pequeño valor negativo que pasa cuando voy bajando otra vez pues eso pues será nulo ok son ortogonales vamos a pensar que son es cero y por lo tanto que es lo que me queda este campo vectorial digamos tiene un valor si es positivo es muy pequeña en la parte en donde es negativo pero no es tan positivo como este segundo caso es decir si comparamos con estos dos este tenía un campo con un valor de cero so integral a lo largo de esa curva y éste tenía un valor positivo pero muy positivo este tiene una partecita negativa y que le resta le resta valor ok entonces en ese sentido podríamos hacer esta comparación donde está la el rotacional en estos cambios por ejemplo si aquí tenemos un palito otra vez tenemos un palito aquí que este es el campo de velocidad de un fluido entonces este palito va a girar en esta sección vámonos al último caso que nos dice el último caso bueno aquí por ejemplo podríamos ir recorriendo la la trayectoria y tenemos un valor positivo lo que hay que notar en este en este mismo ejemplo es que también tenemos cambio de direcciones por ejemplo tenemos este cambio de direcciones y este otro cambio de direcciones ok entonces estos representan dos rotacional es por ejemplo distintos es decir si yo pongo un palito aquí que está flotando sobre este fluido entonces éste gira de esta forma pero si yo pongo un palito de este lado gira en sentido contrario entonces quiere decir que esté roto estos 2 rotacionales se anulan es decir tienen direcciones contrarias ok entonces entonces podríamos pensar que sí que si tenemos estos dos rotacionales de forma distinta pues entonces la integral sobre esta superficie va a ser cero y vamos a ver que si miren vamos a terminar este recorrido por ejemplo qué pasa si subimos ahora por aquí entonces otra vez tengo que en esta sección es cero y ahora cuando recorremos esta parte notamos que este campo vectorial apunta en dirección contraria donde me estoy moviendo entonces tengo un valor negativo ok entonces realmente si hubo varios cambios de dirección pero al final el que me importó fue el que está hasta arriba y luego cuando vamos bajando cuando vamos bajando aquí tengo valor cero entonces otra vez qué fue lo que pasó tuvimos que la integral la integral de f sobre esta trayectoria sobre esta curva sobre esta trayectoria fue otra vez cero pero a diferencia de la primera aquí no teníamos un campo vectorial constante sino si teníamos varios cambios de varios cambios de dirección entonces qué que qué fue lo que ocurrió aquí entonces déjenme déjenme ir bajando e ir anotando algunas cosas será que todos estos ejemplos todos estos ejemplos me están dando idea de que el rotacional tiene mucho que ver con el cálculo de la integral de línea será cierto por ejemplo esto esto nos sugiere que como que hay que sumar todos los los rotacionales es decir si yo quiero calcular la integral de línea de f a lo largo de esta curva es decir de r a lo largo de esta curva será cierto que esto va a ser igual a la suma a la suma de todos los rotacionales y eso se representa como una integral verdad si yo quiero sumar muchas cosas a lo largo de esto pues será la suma del rotacional de f ok y esto lo vamos a hacer a lo largo de toda la superficie es decir vamos a sumar todo el rotacional ok ahora respecto a quién tengo que integrar bueno pues aquí es en una integral es una integral perdón sobre una superficie entonces tengo que hacer producto punto con n ok y todo esto multiplicarlo por d s de qué otra forma puedo escribir esto como vimos en algunos vídeos anteriores esto es lo mismo que la integral sobre la superficie s del campo vectorial efe pero voy a hacer producto con de ese donde se vamos a pensarlo como un vector sale entonces qué es lo que estamos haciendo esta es una intuición de que la suma de los rotacional es sobre la superficie tiene mucho que ver con la integral a lo largo de la curva que define a esta a esta superficie y todo esto el objetivo de este vídeo de este vídeo perdón era dar idea de qué era lo que estaba pasando y si en realidad esto aunque ahorita lo planteamos como una pregunta en realidad es cierta y tiene un nombre ok tenemos tenemos un nombre para esta idea y lo expresamos con el nombre del teorema de stocks el teorema de stocks ok este teorema stoxx es lo que justifica que podamos hacer estas igualdades pero vamos a explorarlo un poco más en futuros vídeos