La curvatura de una hélice (parte 2)

así que aquí nos quedamos estábamos viendo esta función paramétrica de una curva cuya gráfica era esta de aquí era una hélice en tres dimensiones y estábamos intentando averiguar su curvatura y bueno la forma en la que lo estábamos pensando es que tenemos un círculo podemos fijarnos en el círculo que abraza más cercanamente a la hélice o bueno otra forma de pensarlo como había dicho era imaginar que estamos volando una nave y que toda la maquinaria se atasca y lo que queremos es saber qué círculo en el espacio estamos trazando y bueno también habíamos dicho en el vídeo pasado que la curvatura era 1 / r o bien si nos regresamos a mi dibujo de preescolar es porque en definitiva no tengo grandes cualidades en el dibujo pero bueno aquí teníamos esta hélice y con lo que vamos a trabajar es con esta función del vector unitario es decir para cualquier valor dado de ese de cualquier punto en esta curva esta función nos va a dar 1 unitario y tangente a la curva y bueno para obtener la curvatura que es un objetivo necesitamos encontrar a camps que habíamos dicho que es igual a la longitud oa la normal de la derivada de este vector unitario tangente con respecto a la curva es decir queremos la magnitud de esta derivada y como ya hemos visto en algunos vídeos de esta misma fórmula esto es lo mismo que la longitud de la derivada de t con respecto al parámetro con respecto a términos coulant y bueno aquí todavía no tenemos la longitud unitaria tenemos solamente un pequeño cambio en tema y bueno si queremos corregirlo a esto hay que dividirlo entre la magnitud o la normal de la derivada de s con respecto de nuevo el parámetro que en realidad se observa todo esto es la longitud del arco de la curva entre la magnitud de la derivada con respecto a t y bueno observa que tenemos mucho trabajo todavía por delante entonces vamos a hacerlo lo primero que voy a hacer debido a que tenemos todas estas fracciones es este mismo vector pero de una manera más simple voy a escribir a este efector unitario tema cómo y qué te parece si dividimos todo entre la raíz de 26 sobre 5 y esto me va a quedar como menos cinco veces el seno de t entre la raíz de 26 solamente subimos el 5 al numerador y hacemos lo mismo para el cocedero aquí me quedaría 5 veces el coste no de t entre la raíz de 26 y bueno por último tengo un quinto entre la raíz de 26 sobre 5 eso es fácil eso es simplemente 1 sobre la raíz de 26 de lujo así que ahora vamos a derivar lo porque la fórmula nos pide que derivamos que encontremos la derivada de la función vectorial tangente entonces esto me va a quedar como la derivada de t con respecto al parámetro con respecto a t minúscula y va a ser igual bueno tomemos la derivada de cada una de las componentes menos 50 dtm esto al derivar lo me va a dar menos 5 coseno de t entre la raíz de 26 por la constante no lo olvides de manera muy similar pasa en la segunda componente la derivada de cinco veces consta en 9 t es menos cinco veces el seno de tema entre la raíz de 26 y por último la derivada de una constante con respecto a t es cero nos queda nada y bueno ya que tenemos ahora este vector el siguiente paso es tomarnos la magnitud de este mismo vector por lo tanto la magnitud de la derivada de la función tangente con respecto al parámetro va a ser igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada componente es decir a la raíz cuadrada de y bueno el cuadrado de la primera componente es 25 por el coseno cuadrado de t y esto dividido entre 26 porque recuerda la raíz cuadrada de 26 elevada al cuadrado es 26 ya esto le vamos a sumar pues me va a quedar algo similar acá abajo me quedan 25 veces el seno cuadrado de t entre también 26 y bueno de aquí observa podemos factorizar bueno podemos sacar como factor común a 25 sobre 26 entonces me quedaría la raíz cuadrada todo esto va a ser igual a la raíz cuadrada de 25 sobre 26 que multiplica quien bueno multiplica al coseno cuadrado más el seno cuadrado y eso está bastante bien porque el coseno cuadrado más el seno cuadrado es la identidad que siempre nos encontramos en los círculos sabemos que esto es igual a 1 y simplemente nos quedamos con la raíz cuadrada de 25 sobre 26 y esto es bastante bonito no crees así que bueno vamos a introducirlos aquí en nuestra fórmula ya tenemos el numerador el numerador es la raíz cuadrada de 25 sobre 26 y bueno también en el vídeo pasado ya habíamos encontrado la magnitud de la derivada en sí misma recuerdan que fue una de las cosas que hicimos para encontrar el vector tánger y es justo de dónde proviene esta raíz de 26 entre 5 lo borré en el vídeo pasado para hacer un poco de espacio menem pero si observas ese vídeo estoy seguro que vas a saber de dónde sale esta raíz de 26 sobre 5 y de hecho lo voy a escribir pero lo voy a escribir de esta manera lo voy a escribir como la raíz de 26 sobre 25 es lo mismo estás acuerdo solo estoy metiendo este 5 dentro del radical y bueno si lo ves de rápido tal vez estés tentado a cancelar estos dos y decir que el resultado es 1 pero ojo de hecho son inversos multiplicativos 1 es 26 sobre 25 y el otro es 25 sobre 26 entonces si ponemos todo esto dentro de la raíz cuadrada voy a obtener lo siguiente voy a obtener la raíz cuadrada observa de 25 sobre 26 este es mi numerador ya todo esto lo voy a dividir entre mi denominador que es 26 sobre 25 y haciendo esta división entre fracciones me va a quedar es muy fácil me va a quedar la raíz cuadrada de 25 esto elevado al cuadrado entre 26 elevado al cuadrado y es muy padre porque pues los cuadrados se cancelan y simplemente me quedan 25 sobre 26 y esa es justo nuestra curvatura justo aquí tenemos la respuesta acá es un poquito menor que 1 lo que significa que estamos copiando un poco menos de lo que curva una circunferencia con radio de 1 lo cual tiene sentido ya que si regresamos a la imagen y observan esta hélice está completamente aplanada si imaginamos que toda la apretamos en el plano x ya sólo tendríamos un círculo de radio 1 pero ojo al estirarla de regreso tenemos la componente zeta que la hace un poco más recta y es por ello que la curvatura baja un poco porque la hélice es un poco más recta bien así que aquí tenemos la curvatura de la hélice y bueno este fue un ejemplo muy bonito de cómo puedes encontrar la curvatura caminando directamente del eid de encontrar la derivada de t con respecto a s ya sabes obteniendo este vector unitario tangente y obteniendo también la longitud de este arco unitario y en el siguiente vídeo vamos a trabajar otro ejemplo donde solo usemos esta fórmula algo tal vez un poco más complicado pero que podamos resolver con esta misma fórmula y utilizando lo que sabemos así que nos vemos en el siguiente vídeo