Trazo de contornos

aquí tenemos una gráfica en tres dimensiones lo que significa que representa algún tipo de función que tiene una entrada en dos dimensiones y una salida en una dimensión así que podríamos ver esto y digamos que esto es una función f de xy que es igual a bueno pues alguna expresión verdad que tendrá un montón de xy es en ella y bueno en esencia las gráficas son geniales pero digamos son un poco difíciles de dibujar y digo ciertamente no podríamos simplemente esbozar la aquí verdad típicamente requiere algún tipo de software que pueda graficar lo y cuando tomamos una imagen estática de ella pues no siempre es claro qué es lo que está ocurriendo así que lo que voy a describir aquí es digamos una forma de representar estas funciones y estas estas gráficas digamos de forma bidimensional y esto es simplemente digamos esbozando todo en un pedazo de papel en dos dimensiones digamos así que hay una forma común en la que veremos esto es graficando las curvas o los conjuntos de nivel y la idea detrás de los conjuntos de niveles que vamos a tomar esta gráfica y vamos a rebanar la un montón de veces verdad así que vamos a rebanar la con varios planos y todos estos planos serán paralelos al plano xy así que pensemos por un momento qué es lo que estos tipos representan digamos este de aquí abajo representa el valor set igual a menos 2 y lo que estamos haciendo es fijar el valor de z en menos 2 y dejamos a x y digamos correr libremente en todo este plano así que si vamos aumentando z y lo mantenemos constante ok digamos lo aumentamos a menos 1 entonces obtenemos un nuevo plano que aún es paralelo al plano x pero esta distancia de este plano en -1 verdad y el resto de los demás verdad van a seguir siendo valores constantes de z ahora en términos de nuestra gráfica lo que significa es que estos representan valores constantes para la gráfica y por lo tanto digamos tenemos representaciones de las salidas de la función verdad con justamente como la altura que estamos digamos separándonos del plano y esto representa los valores constantes que tenemos de salida y esto es como se va a ver así que vamos a hacer esto digamos podríamos preguntarnos dónde es que estas rebanadas cortan a esta gráfica verdad y vamos a dibujar todos esos puntos en donde estas rebanadas cortan a la gráfica verdad y es justamente estos conjuntos de puntos a los que llamamos líneas o curvas de nivel y aún estamos en tres dimensiones así que todavía no hemos terminado verdad lo que vamos a hacer ahora es que todas estas curvas de nivel vamos a apachurrar las justo al plano xy así que lo que esto significa es que cada una de estas curvas digamos tiene cierta componente zeta en este momento pero vamos a bajarlos hasta que quede todo plano y muy lindo en el plano x y ahora tenemos un arreglo bidimensional verdad que aún representa digamos las salidas de nuestra función ahora bien no todo aquí es perfecto verdad pero al menos nos da una gran idea de qué es lo que está ocurriendo con nuestra función y ahora vamos a cambiar hacia una gráfica bidimensional aquí y esta es exactamente la misma función que estábamos mirando antes solo que ahora cada una de estas líneas representan un valor constante de salida de nuestra función así que es importante darnos cuenta que aún representa la función pero que tiene una entrada bidimensional y una salida de una dimensión y simplemente estamos fijándonos en el espacio de entrada es verdad de nuestra función así que esto aún es efe de verdad que tendrá alguna expresión para estos estas dos variables pero a lo mejor esta línea podría representar el valor constante de f cuando se alcanza el valor de 3 verdad y aquí por ejemplo también podríamos ver estos círculos que nos dan todos los valores en donde f tiene como salida a 3 verdad y este es digamos este es uno por aquí que nos va a decir cuando las salidas valen 2 y en realidad no podemos decir simplemente de ver digamos todas las curvas de nivel cuáles son sus valores verdad así que típicamente si alguien lo está dibujando entonces debe especificar qué valores son y lo va a marcar de alguna forma así que de esta forma nos va a decir qué valor a qué valor corresponde cada curva de nivel pero por ejemplo una vez que ya sabemos que a esta curva corresponde al valor de 0 entonces nos dice que cualquier posible entrada que se encuentre sobre esta línea va a valer 0 cuando la evaluamos en la función verdad y entonces esto de hecho nos da una muy buena intuición y una muy buena idea de cómo es que esta gráfica da nuestra función verdad si digamos si nos gusta pensar en términos de gráficas podríamos imaginarnos cómo es que estos círculos y todo esto puede digamos salirse de la página o de la pantalla verdad entonces de hecho también podríamos fijarnos en cómo es que estas líneas se empiezan a juntar verdad unas con otras se empiezan a juntar muchísimo pero por ejemplo a lo mejor hay más espacio por aquí como podríamos por ejemplo interpretar eso bueno por ejemplo de este lado significa que tenemos un paso muy muy muy pequeño para incremento los valores de la función digamos por un valor 1 verdad necesitamos un paso muy pequeño y esto incrementa digamos una unidad simplemente dando pasos muy pequeños pero por ejemplo de este otro lado necesitamos un paso más grande para incrementar la función por el mismo valor así que tenemos distintas formas de medir digamos que tan inclinada o qué tan pronunciada es nuestra gráfica y veremos a la gráfica como un todo verdad y la idea digamos de cuando tenemos muchos círculos concéntricos usualmente corresponde a cuando tenemos un máximo o un mínimo de nuestra función verdad y vamos a encontrar mucho este este patrón en más ejemplos verdad otra cosa común que la gente hace con digamos con las curvas de nivel es que las representa con colores así que digamos esto podría verse más o menos así aquí digamos los colores más cálidos como el naranja corresponden a valores más altos y los colores más digamos frigios como el azul corresponden a valores más bajos así que las líneas de nivel o las curvas de nivel terminan dictando una división entre digamos por ejemplo el rojo y el verde aquí entre el verde claro y el verde y también tenemos una forma digamos en que los colores nos dicen algo sobre las salidas de nuestra función verdad y las y las curvas de nivel mismas pueden pensarse como los bordes entre distintos colores así que otra vez tenemos una muy buena forma de obtener más intuición de cómo es una función multidimensional simplemente fijándonos en el espacio de entradas