Introducción a la matriz inversa

Sabemos que al multiplicar números simples  podemos usar la noción del recíproco,   por ejemplo: si tomo el 2 y lo multiplico por su  recíproco, el resultado es igual a 1; o si tomo a   y a es diferente de 0 y la multiplico por su  recíproco para cualquier a que sea diferente de 0,   el resultado también será igual a 1; y este es  un número el cual al multiplicarlo por cualquier   cosa va a ser igual a ese número original. Esto es  interesante, es algo que sabemos desde hace mucho   tiempo. Ahora tenemos algo que hemos aprendido de  las funciones: sabemos que si existe una función,   que llamaremos f(x), y que va de un conjunto,  que llamaremos el dominio, hacia otro conjunto,   que llamaremos rango, esta es la función f que va  de x a f(x). En muchos casos, aunque no en todos,   existe otra función que nos lleva de regreso;  llamamos a esa otra función el inverso de   f (f¯¹), de manera que si aplicamos el f¯¹ a  f(x) vamos a regresar a donde comenzamos: a x.   Y sabemos que esto también funciona al  revés, por ejemplo si hacemos f(f¯¹(x)),   esto también nos llevará a x, así que la  pregunta natural es: ¿existe algo similar   al inverso de una función o al recíproco  de la multiplicación cuando trabajamos   con matrices? Vamos a jugar con algunas ideas.  Imaginemos una matriz como una transformación,   de lo cual ya hemos hablado: cuando pensamos  en las matrices como transformaciones éstas   son realmente funciones, son funciones que  llevan un punto en cierto espacio dimensional,   por ejemplo en el plano coordenado hacia  otro punto, es decir, toman un vector y lo   transforman en otro vector. Por ejemplo, imagina  algo que hace una rotación de 90 grados en el   sentido de las manecillas del reloj, y sabemos  cómo construir esa matriz de transformación,   que es en realidad una función. Lo que hace  nuestra matriz de transformación es decirnos   qué hacemos con el vector [1, 0] y también qué  hacemos con el vector [0, 1] cuando hacemos esa   transformación. Bueno, si hacemos un giro de  90 grados en el sentido de las manecillas del reloj,   entonces el vector [1, 0] se va a mover aquí, y  va a convertirse en el vector [0, -1] -vamos a   escribirlo aquí-, y entonces el vector [0, 1] se  va a convertir en el vector [1, 0], escribámoslo. Estos son 90 grados en el sentido de las  manecillas del reloj. Y luego podemos pensar   en cómo se verá la matriz si rota 90 grados en  sentido contrario a las manecillas del reloj,   y parece que al girar en sentido contrario a  las manecillas del reloj el vector original   [1, 0] se va a convertir en el vector [0, 1]  -voy a escribir esto-, y entonces el vector [0,   1] se convertirá en este vector al hacer una  rotación de 90 grados en sentido contrario a   las manecillas del reloj: se va a transformar  en el vector [-1, 0]. Entonces, en teoría,   estas dos transformaciones deberían deshacerse  mutuamente: si hago una transformación que rote   90 grados en sentido de las manecillas del reloj  y luego aplico una transformación que rote 90   grados en sentido contrario de las manecillas  del reloj, debo regresar a donde comencé.   Ahora veamos qué sucede cuando componemos estas  dos transformaciones; y sabemos cómo hacerlo,   ya hemos hablado de ello. En esencia multiplicamos  estas dos matrices: si multiplicamos [0, -1, 1,   0] [ 0, 1, -1, 0], ¿qué obtenemos? Bueno,  veamos. La composición de dos matrices de   2 x 2 es equivalente a multiplicarlas -ya  vimos esto en videos anteriores-, así que   primero vemos la primera fila y esta columna,  que va a ser 0 por 0 + 1 por 1, esto va a ser 1;   luego vemos esta fila y esta columna, así que 0  por -1 + 1 por 0 va a ser igual a 0; y después   vamos a multiplicar esta fila por cada una de  estas columnas: -1 por 0 es 0 + 0 por 1 es 0;   y después -1 por -1 es 1, + 0 por 0 es 1. Observa  lo que sucede cuando hacemos la composición de   estas dos matrices que deberían deshacer lo  que hacen mutuamente: vemos que lo hacen y   el resultado es la transformación identidad o la  matriz identidad. Sabemos que esta matriz de acá,   como una transformación, va a mapear todo en  ella misma. Ahora, esto es interesante porque,   si vemos estas matrices de transformación de  2 x 2 como funciones, acabamos de mostrar que,   si esta es nuestra primera función, entonces  podemos llamar a esta su inversa, y de hecho   usamos los mismos términos cuando nos referimos a  las matrices. Si llamamos a esta matriz A podemos   llamar a esta A¯¹, así que si tomo la matriz A  y la multiplico por su inversa, entonces debo   obtener la matriz identidad, la cual está aquí. Y  esto es algo general, no estoy hablando solamente   del caso de 2 x 2, esto aplica al caso de 3  x 3, al caso de 4 x 4, y así sucesivamente. Y   también sabemos que pude haber definido la de  aquí abajo como A y a la de arriba como A¯¹,   de manera que también se cumpliría lo opuesto: A¯¹  multiplicada por A también debe ser equivalente a   la matriz identidad y, por lo tanto, similar a lo  que vimos en estos ejemplos de funciones, entre   una función y su inversa. La vez anterior dijimos  que una matriz de n • n puede ser vista como una   transformación, puede ser vista como una función,  y también vemos que esto es similar a cómo   conceptualizamos la multiplicación. Aquí podemos  hacer esta multiplicación como una composición de   transformaciones, pero también podemos verla como  una multiplicación de matrices; así que tomar una   matriz y multiplicarla por su inversa es similar a  tomar un número y multiplicarlo por su recíproco,   y obtenemos el equivalente de lo que en el mundo  de los números sería 1. Pero en el mundo matricial   es la matriz identidad, debido a que la matriz  identidad tiene esta bonita propiedad de que,   si tomo la matriz identidad y la multiplico  por cualquier matriz, voy a obtener de nuevo   la matriz original, que es similar a lo que  tenemos en el mundo de los números de uso común.