Introducción a las series de Fourier

tengo aquí la gráfica de la función f de verdad estamos aquí graficando efe dt y en el eje horizontal digamos lo tenemos en términos del tiempo que se mide digamos en segundos y en este tipo de este tipo de funciones se describen justamente como ondas cuadradas estas son ondas cuadradas y en realidad podemos ver que ésta es una función periódica verdad y este tiene un periodo de 2 p cada dos segundos repetimos un ciclo entonces vamos a poner justamente esto el periodo te va a ser 2 pi vamos a ponerlo así como segundos por ciclo muy bien vamos a poner esto como segundos por ciclo y de hecho también podríamos escribir cual es su frecuencia la frecuencia de esta función será justamente el recíproco del periodo es decir será uno sobre dos y en este caso serán ciclos por segundo sobre segundo más bien verdad y lo que vamos a explorar en este vídeo es si podemos representar esta función periódica como una suma infinita de funciones senos y cosenos que por supuesto serán de distintos periodos entonces la idea es escribir nuestra función efe dt como una suma de funciones periódicas verdad entonces vamos a poner primero digamos una constante a cero verdad que sea digamos nuestra base y de hecho ya veremos más adelante que esta constante tiene que ver con el promedio de la función verdad y luego vamos a sumar digamos algunas funciones trigonométricas que tengan periodo dos pi y digamos quizás algunas de ellas es una constante por el coseno de t y otra quizás podría ser una constante por el seno de t muy bien en realidad nosotros empezamos con estas dos funciones porque sabemos que f dt la función ft tiene un período de dos segundos por ciclo verdad así que podemos iniciar con estas dos en el seno verdad porque éstas también tienen un periodo de dos y verdad y de hecho a uno podríamos pensarlo como el peso que tiene la función coseno de t para formar a la otra función efe dt que es ésta amarilla y b1 podría ser también el peso que tiene la función seno de t para ser parte de esta función amarilla entonces por ejemplo si a uno fueran más grande que b 1 la función coseno de t tiene un mayor peso o una mayor importancia para la función efe dt verdad que que si la comparamos por ejemplo con la función seno de t pero esto por sí mismo no describe a la onda cuadrada en realidad nosotros tenemos que agregar más términos a estas una verdad que es que tengan que ver con senos y cosenos donde vayamos cambiando la frecuencia verdad entonces por ejemplo ahora podríamos agregar otra función digamos con un peso a dos verdad que sea coseno en este caso nuestra función coseno de 2 t tiene un periodo y verdad y la fresco la frecuencia sería 1 / pi verdad y también podríamos agregar un 3 por el coseno de 3 t y así podríamos seguir agregando más términos pero así como podemos agregar términos cosenos también podríamos agregar senos verdad entonces aquí podríamos agregar b 2 por el seno de 2 tv3 por el seno por el seno de 3 t y seguimos agregando otros términos verdad entonces uno puede puede tratar de pensar si es posible que esta función efe dt le escribamos como una suma infinita de senos y cosenos verdad y en realidad es un muy buen ejercicio matemático pero uno podría preguntarse también bueno porque querríamos para en principio hacer eso y en realidad toda esta idea fue explorada verdad fue explorada por furia idea y toman estas estas series justamente el nombre series de furia de verdad furia justamente estaba interesado en resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales verdad son muy interesantes desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales porque estas son más fáciles de resolver por ejemplo cuando tenemos senos y cosenos involucrados pero ya no es tan fácil cuando tenemos digamos una efe efe dt arbitraria verdad entonces la idea es que si representamos estas ondas como sumas de senos y cosenos entonces podemos resolver ecuaciones diferenciales más generales otra cosa interesante es que de hecho son la base del procesamiento de señales de verdad se usa mucho por ejemplo en ingeniería eléctrica y la idea es tratar de interpretar digamos estos pesos que tienen las funciones seno y coseno verdad tratar de interpretar esos pesos como que tanto digamos de cada una de estas frecuencias que tenemos aquí contiene la función f entonces por ejemplo sí no fuera mucho más grande que la función que el que el peso a 2 perdón esto nos dice que tiene más de la frecuencia 1 / 2 pi que de la frecuencia 1 / pi verdad que son digamos esto lo estamos midiendo en hertz si quieres verlo así o por ejemplo si a 3 fuera mucho más grande que a 2 y que a 1 entonces la frecuencia de la función coseno de 3 te sería sería mucho más relevante que la frecuencia de estas dos funciones verdad y esto nos ayuda a pensar una función no sólo en términos del tiempo verdad sino también en términos de frecuencias y como veremos más adelante en series de furia y transformada de fourier esto nos llevará al dominio de frecuencias verdad donde podemos empezar a hacer procesamiento de señales mientras vamos a explorar esto en los próximos vídeos para entender cómo hallar los coeficientes verdad vamos a repasar algo de identidades trigonométricas en especial aquellas que se utilizan para las integrales verdad para resolver integrales y veremos que también podemos aproximar esta función