Forma vectorial de una aproximación cuadrática multivariable

muy bien finalmente estamos listos para expresar a la aproximación cuadrática de una función de varias variables en su forma vectorial y ya he escrito todo esto por aquí verdad aquí tenemos una función f que en realidad es la función que queremos aproximar verdad aquí tenemos el punto x0 y es 0 que es el punto alrededor del cual queremos hacer la aproximación de efe y finalmente tengo esta expresión para q de x que no es otra cosa más que la expresión desarrollada de la aproximación cuadrática verdad y solo por si a lo mejor no recuerdas muy bien que implicó qué significan cada uno de estos términos en realidad aquí tenemos nuestro término constante verdad el término constante que simplemente resulta de evaluar efe en el punto que nos interesa luego aquí tenemos los términos lineales estos son los términos lineales y se les llama lineales porque esencialmente tenemos una constante multiplicando a la variable verdad aquí también tenemos una constante multiplicando a la variable y finalmente es términos de aquí son los términos cuadráticas verdad y son términos cuadráticas porque son multiplicaciones de dos variables por ejemplo aquí tendríamos x con xx con ye yé conger verdad entonces esta es digamos la lo que si lo que son cada uno de los términos de nuestra fórmula de la aproximación cuadrática verdad entonces para poder empezar a vector izar digamos esta expresión entonces vamos a ir considerando algunas cosas por ejemplo tenemos un vector variable que va a ser el vector x coma y lo estoy poniendo digamos así remarcado para que se distinga el vector de la coordenada verdad de hecho el vector variable es el que tiene coordenadas x ye y también vamos a tener un vector constante x0 que lo estoy poniendo como en negritas para diferenciarlo de él de la componente x0 verdad desde hecho este vector tiene componentes x 0 ig0 entonces nuestro término constante y es muy fácil de escribir porque simplemente tendríamos que evaluar la función en el vector x0 verdad es justamente el que tiene componentes x 0 y 0 muy bien ahora vamos a escribir la parte lineal la parte lineal podemos ver que se ve como un producto punto verdad de hecho este producto punto se da por el vector que tiene a las derivadas parciales por supuesto estas evaluadas en el vector x0 verdad la derivada parcial de f con respecto de x y la derivada parcial de f con respecto de ye y ambas van evaluadas en el vector x0 ese sería nuestro primer vector y hacemos el producto punto con el vector que tiene componentes x - x 0 y corto y componente o coordenada menos 10 0 verdad esta es la segunda componente así se ve nuestro producto punto que define a la parte lineal sin embargo nosotros sabemos que esto se puede expresar de forma vectorial porque este vector que tenemos aquí es el gradiente de nuestra función y simplemente habrá que evaluarla y evaluar el gradiente en el vector x0 y hacemos el producto punto con el vector x variable menos el vector x0 verdad simplemente si hacemos la diferencia componente a componente tenemos justamente este de aquí verdad entonces hasta aquí hemos podido digamos vector izar digamos la parte la parte lineal y la parte constante la pregunta interesante es cómo vamos a poder vector izar digamos la parte cuadrática de esta expresión y en realidad no es muy difícil y por eso es que hicimos los vídeos anteriores sobre formas cuadráticas porque si no nos damos cuenta esto es una especie de forma cuadrática en donde aquí tenemos ciertas constantes verdad entonces vamos a poner quién es la matriz que define a esta forma cuadrática la matriz que define esta forma cuadrática pues por un lado sería en esta esquina un medio de f x x verdad y aquí voy a obviar que estoy evaluando en el vector x0 solo hay que recordar que estamos evaluando en ese punto verdad recordemos que las formas cuadráticas son algo de la forma x cuadrada más 2 b x x que hice porque cuadrada verdad entonces en esta parte tendremos a en esta parte tendremos c que en este caso es un medio de la segunda derivada de f con respecto de g ambas veces verdad y digamos en estas otras esquinas tenemos b pero en este caso 2 b es la derivada de f con respecto de x y luego con respecto de y quiere decir que aquí debemos tener un medio de la derivada de f con respecto de x y luego con respecto de ella y recordemos que aquí va exactamente lo mismo verdad entonces aquí tenemos la matriz que define esta parte cuadrática de la expresión verdad y casi se parece casi es la scj así es la matriz que sean la verdad excepto por este medio que lleva en cada una los componentes bueno del lado derecho tendremos que multiplicar por un vector en este caso el vector sería el que tiene componentes x menos x 0 x 0 y la otra componente sería menos de 0 y por supuesto hay que multiplicar de este otro lado por el mismo vector verdad solo que ahora vamos a poner a ese vector digamos de forma horizontal verdad es es el vector transpuesto es el vector transpuesto y multiplicamos del lado izquierdo muy bien y entonces así es como obtenemos la expresión cuadrática que tenemos acá arriba verdad y si esto a lo mejor no te resulta familiar puedes checar el vídeo de formas cuadráticas y en esencia esta matriz casi es casi es la matriz que sean la verdad excepto que todas estas componentes tienen un medio verdad entonces lo que podemos hacer es factorizar afuera digamos este valor de un medio podremos poner este un medio y entonces ahora sí si factor izamos un medio tenemos la matriz cristiana de la función f evaluada en el vector x0 verdad esto va evaluado en el vector x0 mientras que del lado derecho multiplica al vector variable x el vector constante x0 verdad y del lado izquierdo también vamos a multiplicar por el vector x menos x 0 x 0 y sólo que este vamos a transponer la verdad porque va de forma horizontal entonces esta es la formulita digamos para los términos cuadráticas esto es lo que captura toda la expresión de los términos cuadráticas de nuestra función q que teníamos originalmente verdad entonces si juntamos todo la parte constante en la parte lineal y la parte cuadrática que es lo que vamos a obtener vamos a tener que nuestra función q que será la aproximación cuadrática y vamos a poner un subíndice f para referirnos a la función f verdad y esto evaluado en x pues por un lado será el término constante verdad que es f evaluada en el punto x 0 más el gradiente de efe verdad aquí vamos a expresar la parte lineal que se escribe como el gradiente de f evaluada evaluado en el punto x0 ya tenemos el producto punto con el vector x menos x 0 pero verdad y finalmente agregamos la parte cuadrática que es esta expresión que tenemos aquí que es un medio de el vector x menos el vector x0 pero esto por supuesto ha transpuesto luego multiplicamos por la matriz cristiana de la función f evaluada en el punto perdón en el en el vector verdad en el vector x0 verdad y finalmente multiplicamos por x menos x 0 x menos x 0 x 0 entonces toda esta expresión es la fórmula digamos vector izada de la aproximación cuadrática de la función f verdad esta vez ya ahora en su forma vectorial y en realidad ahora esta expresión no necesariamente tiene que ser utilizada para vectores de dimensión 2 verdad con dos componentes ahora toda esta expresión tiene sentido cuando hablamos de tres dimensiones o cuatro o quizás tantas variables como quieras todo esto tiene sentido verdad por ejemplo el gradiente de f si tuviéramos cuatro variables entonces sería un vector de cuatro entradas verdad si tuviéramos la matriz gestiona entonces ésta sería una matriz de 4x4 y además esta forma de escribirla yo digo que es muy muy bonita porque se parece mucho al desarrollo en polinomios de taylor verdad en donde teníamos para el caso escalar verdad de una variable teníamos una constante más la derivada de la función evaluada en el punto por x menos x 0 o por equis pensémoslo nada más así más medio de la segunda derivada de f por equis cuadrada más o menos se veía así verdad además creo que es más fácil recordarlo así que en su forma digamos desarrollada como lo teníamos al inicio del vídeo en fin a mí me parece que todo esto fue genial no