¿Cómo se ven las aproximaciones cuadráticas?

en el último par de vídeos hablamos de lo que es la línea lización local de una función y en términos de gráficas tenemos una bonita interpretación aquí donde imaginamos una gráfica de una función y queremos aproximar digamos en un punto específico podría estar en cualquier lugar de la gráfica no tiene por qué estar aquí y necesariamente podríamos elegirlo en cualquier otro lado pero si tenemos un punto y queremos aproximar la función cerca de él entonces construimos otra función cuya gráfica sea un plano verdad y específicamente un plano que sea tan gente a nuestra gráfica original en ese punto y esto es digamos visualmente cómo es que pensamos la línea lización local verdad y lo que voy a hacer aquí ahora es hablar de la aproximación cuadrática muy bien entonces la aproximación cuadrática esto nos lleva al siguiente nivel y te voy a mostrar cómo es que se dé esto gráficamente para que podamos entenderlos en términos de fórmulas y gráficamente en lugar de tener un plano vamos a tener más parámetros y podremos construir una superficie que más o menos abraza la gráfica digamos de forma más precisa verdad va a ser todavía función más simple en términos de fórmulas que quizás la función original pero de hecho va a abrazar a la gráfica de forma más cercana verdad y a medida que nos movemos con el punto verdad que estamos aproximando verdad lo abrazara de una forma bastante distinta y si pensamos gráficamente que es lo que es una aproximación cuadrática básicamente si rebajamos esta superficie digamos que se ve fantasmagórica y blanca digamos en cualquier dirección se parecerá a una parábola de algún tipo verdad y notemos que cuando estamos trabajando en dimensiones múltiples esto hace que las cosas se vean mucho más complicadas que en una dimensión por ejemplo si la rebana moss por aquí en esta dirección se ve como si fuera una parábola cóncava hacia arriba pero si lo vemos desde otro punto de vista verdad entonces se ve como una parábola cóncava hacia abajo verdad y entonces lo que obtenemos es una superficie que de hecho tiene mucha información acerca de la función original y cuando vemos cómo es que abraza a la gráfica vemos que es muy muy cercana verdad esta aproximación digamos es mucho mejor que cuando teníamos simplemente plano pero por supuesto esto requiere de algunos pasos más verdad y la aproximación seguirá siendo muy muy fiel a la gráfica verdad siempre que estemos quizás un poquito más lejos que cuando hablábamos del plano pero siempre que estemos aún cerca de nuestro punto de interés verdad eso va a ser algo que nos da mucha más información para describir a la gráfica que por ejemplo la línea lización local verdad nos da de hecho una mejor aproximación así que en términos de funciones esto significa que la parte lineal de nuestra aproximación verdad como lo vimos en vídeos anteriores esencialmente consiste en buscar una función l que depende de xy de ye verdad y se vea más o menos de esta forma que sea una constante más otra constante por x más otra constante por ye y técnicamente en realidad ésta no es una función lineal si uno se quiere poner quisquilloso esto esto no debería llamarse lineal sino debería ser una función afín verdad son funciones afines ok entonces si queremos que realmente sea lineal este término constante no debería aparecer pero en el contexto de aproximar funciones la gente utiliza el término lineal para referirse a este tipo de expresiones verdad entonces cuando queremos hacer aproximaciones cuadráticas entonces vamos a considerar una función q que depende de x y de y que esencialmente tenga los mismos términos que teníamos anteriormente a más bx más ella pero ahora va a tener los términos con digamos podríamos pensar que son con exponente cuadrática verdad aunque aquí por ejemplo en este término no aparecen exponentes cuadráticas pero aparecen dos exponentes uno así que podríamos pensar que es un exponente cuadra tico verdad más un último término que es f por ye cuadrada entonces aquí tenemos d e y f que son nuevos parámetros y estos términos son los términos cuadráticas otra vez porque estamos pensando en todas las multiplicaciones posibles que hay entre x y tendremos parámetros que puedan controlarlo verdad entonces con esto podemos ver que tenemos más control porque antes sólo teníamos tres parámetros y eso da control de todos los planos en el espacio y el óptimo digamos es el que están gente a la gráfica en el punto que nos interesa y esto puede variar dependiendo de donde sea y el punto así que lo que haremos en el próximo vídeo en el próximo par de vídeos mejor dicho es hablar de cómo ajustar las seis constantes para tener funciones que abracen a la gráfica de forma precisa y todas dependerán del punto pues digamos al moverlo la superficie será distinta esto tendrá que ver con las derivadas parciales de la función original y será similar al caso de la línea lización local sólo que con más pasos y de eso hablaremos en el próximo vídeo