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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 4: Integrales de línea en campos vectoriales (artículos)

Campos vectoriales conservativos

Especialmente importantes en la física, los campos vectoriales conservativos son aquellos en los que integrar sobre dos trayectorias distintas que empiezan y terminan en los mismos dos puntos da el mismo resultado.

Antecedentes

El teorema fundamental de las integrales de línea, tambien conocido como teorema del gradiente.

Qué vamos a construir

Llamamos a

F (x, y)

un campo vectorial conservativo si satisface cualquiera de las siguientes tres propiedades (que definimos en este artículo):

Las integrales de línea de $F$ ‍ no dependen de la trayectoria.
Las integrales de línea de $F$ ‍ sobre trayectorias cerradas siempre son iguales a $0$ ‍.
$F$ ‍ es el gradiente de alguna función escalar, es decir, $F = \nabla g$ ‍ para alguna función $g$ ‍.

Hay otra propiedad que es equivalente a estas tres:

F

es irrotacional, que significa que su rotacional es cero donde sea (con una pequeña salvedad). Sin embargo, discutiremos esta propiedad en un artículo distinto, donde se define el rotacional en términos de integrales de línea.

El punto clave a recordar aquí no es solo la definición de un campo vectorial conservativo, sino el sorprendente hecho de que las condiciones aparentemente distintas que se mencionan arriba son equivalentes las unas a las otras. ¡Qué locura!

Independencia de trayectorias

Imagina que tienes un campo vectorial cualquiera,

F (x, y)

, y consideras las integrales de línea de

F

a lo largo de dos trayectorias separadas,

C_{1}

C_{2}

, donde ambas comienzan en el punto

A

y terminan en el punto

B

Para la mayoría de los campos vectoriales

F

y la mayoría de las trayectorias posibles

C_{1}

C_{2}

, estas integrales serán distintas.

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s \neq \int_{C_{2}} F \cdot d s \leftarrow Casi siempre es verdad. \end{array}

¡Y esto tiene sentido! Cada integral suma valores completamente diferentes en puntos completamente distintos del espacio. Lo que es sorprendente es que existen ciertos campos vectoriales donde integrar a lo largo de trayectorias diferentes que conectan los mismos dos puntos siempre dará el mismo resultado, sin importar la elección de las trayectorias (de las cuáles hay una superinfinidad).

En el artículo anterior, al estudiar el teorema del gradiente vimos que en el caso especial de campos vectoriales que son gradientes de alguna función escalar,

\nabla f

, esta mágica propiedad es verdadera. Las integrales de línea a lo largo de trayectorias distintas que conectan los mismos dos puntos

A

B

siempre serán iguales:

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d s = \underset{\begin{array}{c} Consecuencia del \\ teorema del gradiente. \end{array}}{\underset{⏟}{f (B) - f (A)}} = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d s \end{array}

Definición: a esta propiedad la llamamos independencia de trayectorias. Específicamente, decimos que una integral de línea en un campo vectorial

F (x, y)

es independiente de la trayectoria si el valor de la integral solo depende de los puntos donde comienza y termina la trayectoria, no del camino que recorre.

De hecho, cuando entiendes propiamente el teorema del gradiente, esta afirmación no tiene nada de mágica. Esto es poeque las integrales de línea en el gradiente de

f

miden el cambio en el valor de

f

. Si visualizamos esto con la gráfica de

f

, quiere decir que cualesquiera dos caminos que te llevan de un punto a otro cambian tu altitud por la misma cantidad.

Contenedor video de Khan Academy

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El punto clave a recordar de este resultado es que los campos gradientes son campos vectoriales muy especiales. Ya que la propiedad de independencia de trayectorias es tan rara, en un sentido, la "mayoría" de los campos vectoriales no pueden ser campos gradientes.

Independencia de trayectorias implica un campo gradiente

Muy bien, entonces los campos gradientes son especiales debido a que satisfacen la propiedad de independencia de trayectorias. Ahora bien, ¿puedes idear un campo gradiente

F (x, y)

tal que todas las integrales de línea sean independientes de la trayectoria, pero que no sea el gradiente de alguna función escalar?

Supongo que arruiné la respuesta con el título de la sección y con la introducción: todos los campos vectoriales que son independientes de la trayectoria son gradientes de funciones. Pero, ¿por qué?

De verdad, ¿por qué habría de ser esto cierto? Considera un campo vectorial arbitrario

F (x, y)

, tal que las integrales de línea no dependen de la trayectoria, es decir,

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}

para todas las trayectorias

C_{1}

C_{2}

que conectan los mismos dos puntos

A

B

. ¿Qué es lo que garantiza en esta propiedad la existencia de una función

g

tal que

\nabla g = F

Pregunta de desafío: ¿puedes pensar en una forma de construir

g

en términos de

F

usando el hecho de que

F

es independiente de trayectorias?

Esta es una pregunta difícil, pero, para inspirarnos, podemos revisar el teorema del gradiente.

Podría simplemente escupir la respuesta, pero es más divertido e iluminador ir poco a poco mostrando cómo podrías descubrir la respuesta tú mismo.

Obtener inspiración del teorema del gradiente

El teorema del gradiente relaciona el valor de una función con la integral de línea de su gradiente:

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}$ ‍

donde

A

B

son puntos en el espacio y

C

es alguna curva que los conecta.

Supón que resulta ser el caso en el que

f (A) = 0

; entonces, esta ecuación se ve como

$\begin{array}{r} f (B) = \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}$ ‍

En otras palabras, para cualquier punto

B

en el espacio, podrías calcular

f

usando solo su gradiente (y una integral de línea).

Ya que nuestro objetivo es ver cómo podemos ver el campo vectorial

F

como un gradiente, esto nos sugiere reemplazar

\nabla f

con

F

. Al hacerlo, obtenemos una nueva función escalar, que llamamos

g

$\begin{array}{r} g (B) = \int_{C} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Usualmente, definimos funciones por medio de fórmulas que involucran las coordenadas

(x, y)

de un punto, por lo que esta puede parecer una definición alocada de

g

. Para empezar,

A

es un punto arbitrariamente escogido del espacio. Entonces, el valor de

g

en un punto

B

se define al tomar una curva arbitraria que conecta

A

B

y al evaluar la integral de línea de

F

a lo largo de esta curva. Esta es una definición muy indirecta, pero, sin embargo, es válida. Después de todo, nos da una forma de calcular

g (x, y)

para cualquier punto

(x, y)

, ¿no?

Observa que esta definición no tiene sentido para la mayoría de los campos vectoriales

F

. La elección de la trayectoria que conecta a

A

B

cambia el valor de la integral y, como resultado, el valor de

g (B)

es ambiguo. Sin embargo, puesto que las integrales de línea para

F

son independientes de la trayectoria, esta definición es correcta.

Al definir

g

de esta forma, resulta que

$\nabla g = F$ ‍

Este resultado no debería sorprendernos si pensamos en cómo se ve el teorema del gradiente para

g

. No haré la demostración rigurosa de este hecho aquí, pues pienso que los detalles nos distraerán del punto principal:

Punto clave a recordar: si las integrales de línea en un campo vectorial $F$ ‍ son independientes de la trayectoria, puedes usar esas integrales de línea para definir una función $g$ ‍ tal que $\nabla g = F$ ‍.

Trayectorias cerradas

Definición: decimos que una trayectoria es cerrada si comienza y termina en el mismo punto. Comúnmente llamamos a dichas trayectorias lazos cerrados o bucles cerrados.

Por ejemplo, la trayectoria

C

que se muestra a continuación comienza y termina en

A

Si consideramos un campo vectorial

F

tal que todas sus integrales de línea son independientes de la trayectoria, la integral de línea de

F

a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es

0

. ¿Por qué?

Sea

C

una trayectoria cerrada que comienza en

A

y termina en

A

, y sea

\tilde{C}

la misma trayectoria recorrida en el sentido opuesto. Es decir,

C

\tilde{C}

pasan por los mismos puntos en el espacio, pero, cuando las parametrizas, las recorres en el sentido contrario.

Sabemos que revertir la orientación de una trayectoria cambia el signo de la integral de línea:

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = - \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Esta es una propiedad general de las integrales de línea en campos vectoriales, no solo de los campos vectoriales conservativos. Sin embargo, ya que

F

es independiente de la trayectoria y que

C

\tilde{C}

comienzan y terminan en

A

, entonces

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

La única manera de que estas dos igualdades se satisfagan es si la integral es igual a

0

. Puedes aplicar este argumento a cualquier trayectoria cerrada, por lo que la integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a

0

Considera la trayectoria cerrada

C

, que comienza y termina en el punto

A

, y observa lo que establece el teorema del gradiente para tal trayectoria y una función escalar

f

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (A) - f (A) = 0 \end{array}$ ‍

Por lo tanto, las integrales de línea a lo largo de trayectorias cerradas en campos gradientes siempre deben ser iguales a cero. Ya que vimos que los campos vectoriales cuyas integrales de línea son independientes de la trayectoria también tienen que ser campos gradientes, hemos respondido la pregunta.

El enunciado contrario también es verdadero: si las integrales de línea de

F

en cualquier trayectoria cerrada son iguales a

0

, entonces son independientes de trayectorias. ¿Por qué?

Considera dos trayectorias distintas

C_{1}

C_{2}

, cada una que va del punto

A

al punto

B

Ahora define una trayectoria cerrada

C_{3}

como cierta combinación de estas dos trayectorias, donde caminas de

A

B

a lo largo de

C_{1}

, y luego, de

B

A

a lo largo de

C_{2}

La integral de línea de

F

sobre esta trayectoria combinada será

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = \int_{C_{1}} F \cdot d s - \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

El signo negativo se debe a que recorremos

C_{2}

al revés. Por otro lado, estamos suponiendo que la integral de línea sobre cualquier trayectoria cerrada es

0

, y

C_{3}

es una trayectoria cerrada, por lo que

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = 0 \end{array}$ ‍

Juntas, estas ecuaciones implican que

$\begin{aligned} \int_{C_{1}} F \cdot d s & - \int_{C_{2}} F \cdot d s = 0 \\ ⇓ \\ \int_{C_{1}} F \cdot d s & = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{aligned}$ ‍

Ya que escogimos

C_{1}

C_{2}

arbitrariamente, este resultado muestra que todas las integrales de línea en

F

son independientes de la trayectoria.

Notación chistosa para las integrales sobre trayectorias cerradas

A veces verás una integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada escrita como

\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r \end{array}

No te preocupes, esta no es una nueva operación que necesitas aprender. Tan solo es una integral de línea, que se calcula igual que siempre, pero donde se hace énfasis en que

C

es una trayectoria cerrada.

Energía potencial

En el artículo en el que introduje las integrales de línea en campos vectoriales, mencioné brevemente cómo en la física, el trabajo que realiza una fuerza sobre un objeto en movimiento se determina al calcular la integral de línea del campo vectorial de fuerza a lo largo de la trayectoria de movimiento.

\begin{array}{r} W = \int_{C} F \cdot d s \end{array}

Decimos que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto que se mueve de un punto

A

a otro punto

B

siempre es igual, sin importar la trayectoria del objeto. En otras palabras, si esta integral es independiente de la trayectoria. Fuerzas fundamentales como la gravedad y la fuerza eléctrica son conservativas, y el ejemplo por excelencia de una fuerza que no es conservativa es la fricción.

Basados en nuestra discusión anterior, esto tiene una consecuencia interesante: si una fuerza es conservativa, es el gradiente de alguna función.

F = \nabla U

Más aún, de acuerdo con el teorema del gradiente, podemos calcular el trabajo que realiza esta fuerza sobre un objeto conforme este se mueve del punto

A

al punto

B

al evaluar esta función

U

en cada punto:

\begin{aligned} W & = \int_{C} F \cdot d s \\ = \int_{C} \nabla U \cdot d s \\ = U (B) - U (A) \end{aligned}

Como los estudiantes de física entre ustedes probablemente habrán adivinado, esta función

U

representa la energía potencial. Por ejemplo, si tomas el gradiente del potencial gravitacional o del potencial eléctrico, obtendrás la fuerza gravitacional o la fuerza eléctrica, respectivamente. Esta es la razón por la cual calcular el trabajo que realiza una fuerza conservativa es tan sencillo como comparar energías potenciales.

También significa que nunca podrías tener una "energía potencial de fricción", pues la fuerza de fricción no es conservativa.

Escher

Pasando de la física al arte, el dibujo clásico de M.C. Escher, "Ascending and descending (Ascendiendo y descendiendo)", muestra cómo se vería el mundo si la gravedad no fuera una fuerza conservativa.

Perspectiva de la trayectoria cerrada:

Imagina caminar en el sentido de las manecillas del reloj. Con cada paso, la gravedad estaría realizando trabajo negativo sobre ti, por lo que el resultado de integrar el trabajo sobre tu trayecto circular, es decir, el trabajo total que realiza la gravedad sobre ti, sería bastante negativo. Sin embargo, esta es una integral a lo largo de una trayectoria cerrada, por lo que el hecho de que sea distinta de cero significa que la fuerza que actúa sobre ti no puede ser conservativa.

Perspectiva de la independencia de trayectorias

Imagina caminar de la torre de la esquina derecha a la de la esquina izquierda. Si lo haces en el sentido de las manecillas del reloj, la gravedad realiza trabajo negativo sobre ti; si lo haces en el sentido contrario, la gravedad realiza trabajo positivo sobre ti. Ya que ambas trayectorias comienzan y terminan en los mismo puntos, la propiedad de independencia de trayectorias no se satisface, por lo que el campo gravitacional no puede ser conservativo.

Perspectiva del gradiente:

En el mundo real, el potencial gravitacional corresponde con la altura, pues el trabajo que realiza la gravedad es proporcional al cambio en la altura. Lo que hace asombroso el dibujo de Escher es que la idea de altura no tiene sentido. Muchos pasos hacia "arriba" sin pasos hacia abajo te pueden llevar al mismo punto. Esto corresponde al hecho de que no existe una función de energía potencial $U$ ‍ tal que $\nabla U$ ‍ describa ese campo gravitacional.

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Jorgelina Walpen
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Cuando hablas de la defin...” de Jorgelina Walpen
Cuando hablas de la definición de g y dices "Esta es una definición muy indirecta, pero, sin embargo, es válida" ... me gustaría ver la prueba de la validez... más aún, g así definida posee derivadas parciales, es decir existe el gradiente de g? Gracias desde ya!
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