como saber cuando utilizar producto escalar o vestorial?

producto escalar cuando te importe la proyección de un vector en otro, o cómo de alineados están, y producto vectorial cuando te interese el área que forman, o cómo de perpendiculares son Si quieres entenderlo con más profundidad te recomiendo: https://www.youtube.com/watch?v=LyGKycYT2v0&t=0s&index=10&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

En el último ejemplo, la trayectoria es cerrada, y comienza y termina en e mismo punto, por qué el trabajo no es cero?, al ser una curva cerrada, debería ser conservativo?

si el campo vectorial rota no es conservativo. Imagínate una especie de scalextric sin motor en el recorrido (r(t)). El resultado de la integral sería el trabajo que ha absorbido el coche, la velocidad que ha alcanzado por el campo vectorial, que podría ser viento. Si el viento da en perpendicular el coche no se mueve porque está en su carril, pero a medida que se alinea el coche acelera en su recorrido. Si el circuito está cerrado la única forma de hacer que el coche de vueltas es con viento que también de vueltas, con un rotacional distinto de cero, y por lo tanto con un campo vectorial no conservativo. Si el viento fuese en una sola dirección (conservativo) el coche puede que comience a acelerar, hasta que tenga que volver (en contra del viento), entonces desacelerará la misma cantidad que antes aceleró y no podrá dar vueltas. Si el campo fuese conservativo es cierto que las integrales en trayectorias cerradas tienen que dar 0

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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 4: Integrales de línea en campos vectoriales (artículos)

Integrales de línea en un campo vectorial

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Después de aprender sobre integrales de línea en un campo escalar, aprende cómo funcionan las integrales de línea en campos vectoriales.

Antecedentes

Qué vamos a construir

Digamos que existe un campo vectorial

F

y una curva

C

que lo atraviesa. Imagina que caminas a lo largo de la curva, y que a cada paso calculas el producto punto entre los siguientes dos vectores:

El vector del campo $F$ ‍ en el punto donde te encuentras.
- El vector de desplazamiento asociado con el siguiente paso que tomas a lo largo de la curva.

Si sumas todos estos productos punto, habrás aproximado la integral de línea de $F$ ‍ a lo largo de $C$ ‍.

La notación compacta para esta integral de línea es

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

(Presta atención especial al hecho de que es un producto punto).

La notación más explícita, dada una parametrización

r (t)

C

, es

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Las integrales de línea son útiles en física para calcular el trabajo que realiza una fuerza sobre un objeto en movimiento.

Si parametrizas las curva de tal forma que te muevas en la dirección opuesta conforme

t

crece, el valor de la integral de línea se multiplica por

- 1

Una ballena que cae del cielo

Digamos que tenemos una ballena, que llamaré Whilly, que cae del cielo, y supongamos que cae a lo largo de una trayectoria curvada, tal vez porque las corrientes de aire la empujan de un lado para otro.

En este ejemplo, asumo que estás familiarizado con las ideas de la física que la fuerza hace trabajo sobre un objeto en movimiento, y que el trabajo está definido como el producto punto entre el vector de fuerza y el vector de desplazamiento.

Cuando hay una fuerza, como la gravedad, y un objeto se mueve en la región donde la fuerza actúa, decimos que esta "hace trabajo" sobre el objeto. Por ejemplo, supón que Whilly cae por el cielo en línea recta

100 m

(en un periodo específico de tiempo):

La fuerza de gravedad sobre la ballena es

$\begin{aligned} F & = m g \\ = (170,000 kg) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) \end{aligned}$ ‍

Y el trabajo que la gravedad hace sobre Whilly es la fuerza multiplicada por el desplazamiento:

$\begin{aligned} W & = F s \\ = \underset{Fuerza}{\underset{⏟}{(170,000 kg) (9.8 \frac{m}{s^{2}})}} \overset{desplazamiento}{\overset{⏞}{(100 m)}} \end{aligned}$ ‍

De hecho, esta fórmula no es del todo correcta. Supón que Whilly no se mueve en línea recta. Tal vez su vector de desplazamiento va hacia abajo y hacia la derecha, con una componente

y

- 60 m

y una componente

x

80 m

La gravedad todavía hace trabajo sobre Whilly, pero lo que importa es la componente del vector de desplazamiento de Whilly que va en la dirección de la gravedad. En otras palabras, el trabajo es el producto punto entre el vector de fuerza y el vector de desplazamiento.

$\begin{aligned} W & = \vec{F} \cdot \vec{s} \\ = (- (170,000 kg) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) \hat{j}) \cdot (80 m \hat{i} - 60 m \hat{j}) \\ = - (170,000 kg) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) (- 60 m) \\ = (170,000) (9.8) (60) \frac{kg m^{2}}{s^{2}} \end{aligned}$ ‍

En este caso, puesto que la gravedad apunta solamente en la dirección

- \hat{j}

, calcular el producto punto es equivalente a extraer la componente vertical del vector de desplazamiento.

Pregunta clave: ¿cuál es el trabajo que la fuerza de gravedad realiza sobre Whilly conforme cae a lo largo de la trayectoria curvada

C

Usualmente, calculamos el trabajo con respecto a un vector constante de fuerza y un vector constante de desplazamiento. ¿Qué podemos hacer con una trayectoria curvada? Podemos comenzar imaginándonos que la curva está compuesta de muchos vectores pequeños de desplazamiento:

Anda y dale a cada uno de estos vectores de desplazamiento un nombre,

{\vec{Δ s}}_{1}

{\vec{Δ s}}_{2}

{\vec{Δ s}}_{3}

\dots

El trabajo realizado por la gravedad a lo largo de cada uno de estos vectores de desplazamiento es el producto punto del vector de fuerza de gravedad, que denotaré

\vec{F_{g}}

, con el vector de desplazamiento mismo:

\vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{i}

Aproximamos el trabajo total hecho por la gravedad a lo largo de la curva completa con

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{N} \vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{n} \end{array}

Pero, por supuesto, esto es cálculo, por lo que no buscamos solamente un número específico de pasos finitos a lo largo de la curva

C

. Queremos el valor límite de esta suma conforme el tamaño de esos pasos es más y más pequeño. La integral siguiente captura este proceso:

\begin{array}{r} \int_{C} \vec{F_{g}} \cdot \vec{d s} \end{array}

Esta integral es muy similar a una integral de línea en un campo escalar, pero con una diferencia clave: ahora consideramos el pequeño paso $\vec{d s}$ ‍ como un vector, no como una longitud. En la integral anterior, señalé con flechas ambas cantidades,

\vec{F_{g}}

\vec{d s}

, para enfatizar que son vectores. Una forma más sutil y común de recalcar que estas son cantidades vectoriales es escribirlas con letras negritas:

\begin{array}{r} \int_{C} F_{g} \cdot d s \end{array}

Punto clave a recordar: la cantidad que sumamos conforme caminamos a lo largo de

C

no es todo el valor de

F_{g}

en cada punto, sino la componente de

F_{g}

que apunta en la misma dirección que el vector

d s

. Es decir, la componente de la fuerza en la dirección de la curva.

Ejemplo 1: poner números en la caída de Whilly

Veamos cómo resulta este problema una vez que llevemos a cabo el cálculo.

Supón que la trayectoria de caída de Whilly está descrita por la curva parametrizada

\begin{array}{r} s (t) = [\begin{array}{c} 100 (t - \sin (t)) \\ 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \end{array}

Podemos expresar el vector

d s

, que representa un pequeño paso en dirección de la curva, con la derivada de esta función multiplicada por

d t

d s = \frac{d s}{d t} d t = s^{'} (t) d t

Si este procedimiento no te resulta familiar, considera echar un vistazo al artículo que describe las derivadas de curvas parametrizadas. La forma de visualizar esto es pensar que un pequeño incremento de tamaño

d t

sobre el parámetro

t

resulta en un pequeño incremento

s^{'} (t) d t

a lo largo de la curva

s (t)

Para evaluar este vector derivada, simplemente debemos calcular la derivada de cada componente:

\begin{aligned} \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} 100 (t - \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \\ \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} 100 (1 - \cos (t)) \\ 100 (- 1 - \cos (t)) \end{array}] \end{aligned}

La fuerza de gravedad está dada por la aceleración,

9.8 \frac{m}{s^{2}}

, multiplicada por la masa de Whilly. No es que importe, pero busqué la masa típica de una ballena azul, y resulta ser de alrededor de

170,000 kg

, por lo que usaremos ese número.

Ya que la fuerza se dirige solamente hacia abajo, la gravedad como vector de fuerza se ve así:

\begin{aligned} F_{g} & = [\begin{array}{c} 0 \\ - (170,000) (9.8) \end{array}] \end{aligned}

Digamos que queremos encontrar el trabajo que realiza la gravedad entre los tiempos

t = 0

t = 10

. ¿Qué obtienes cuando sustituyes esta información en la integral de línea

\int_{C} F_{g} \cdot d s

y la evalúas? Tómate un momento para intentar resolver la pregunta antes de ver la respuesta.

(Para aquellos de ustedes estudiantes de física que hayan observado que sería más fácil simplemente calcular el potencial gravitacional de Whilly al comienzo y al final de su caída y encontrar la diferencia, ¡van a adorar la lección sobre campos conservativos!)

Visualizar integrales de línea en campos vectoriales más generales

En el ejemplo anterior, el campo vectorial gravitacional es constante. En todos lados, la gravedad apunta directo hacia abajo con la misma magnitud. Para la mayoría de las integrales de línea en un campo vectorial, los vectores del campo varían en diferentes putos del espacio, por lo que el valor de su producto punto con

d s

cambia. La siguiente animación muestra cómo se puede ver este producto.

(Observa que la animación usa la variable

r

en lugar de

s

para denotar la curva, pero, por supuesto, no hay ninguna diferencia).

Analicemos qué está sucediendo.La integral de línea en sí misma la escribimos como

\begin{array}{r} \int_{C} F (r) \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

donde

$F$ ‍ es un campo vectorial, que asocia cada punto en el espacio con un vector. Lo puedes pensar como un campo de fuerzas.
$C$ ‍ es una curva a través del espacio.
$r (t)$ ‍ es una función vectorial que parametriza la curva $C$ ‍, donde $a \leq t \leq b$ ‍.
$r^{'} (t)$ ‍ es la derivada de $r$ ‍, que representa el vector velocidad de una partícula cuya posición esta dada por $r (t)$ ‍ mientras $t$ ‍ se incrementa a razón constante. Cuando multiplicas este vector por un pequeño paso en el tiempo, $d t$ ‍, obtienes el vector de desplazamiento, que a mí me gusta pensar como un pequeño paso a lo largo de la curva. Técnicamente, es un pequeño paso en la dirección tangente a la curva, pero para $d t$ ‍ suficientemente pequeña, da básicamente lo mismo.
Observa que en esta animación la longitud de $r^{'} (t)$ ‍ permanece constante. Esto no es necesariamente cierto para la mayoría de las parametrizaciones de $C$ ‍, donde podrías acelerar o desacelerar conforme varía tu posición $r$ ‍. Por ejemplo, Whilly probablemente se aceleró durante la caída y, por lo tanto, su vector de velocidad creció a lo largo del tiempo.
El círculo que rota en la parte inferior derecha del diagrama puede resultar confuso al principio. Representa qué tanto el vector $F (r (t))$ ‍ se alinea con el vector tangente $r^{'} (t)$ ‍. Los vectores grises $x$ ‍ y $y$ ‍ muestran cómo están orientados los otros vectores en relación al plano $x y$ ‍.

Verificación de conceptos ¿qué representa el producto punto

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

(Elección A)
La razón a la cual la fuerza $F (r (t))$ ‍ cambia con respecto a $t$ ‍.
(Elección B)
La componente de $F (r (t))$ ‍ que apunta en la misma dirección que el pequeño paso a lo largo de la curva en el punto $r (t)$ ‍, multiplicada por el tamaño de ese paso.

En términos de la física, puedes pensar el producto punto

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

como

d W

Es decir, la pequeña cantidad de trabajo hecho por el campo de fuerza

F

sobre una partícula que se mueve a lo largo de

C

Ejemplo 2: el trabajo hecho por un tornado

Considera el campo vectorial descrito por la función

\begin{aligned} F (x, y) & = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{aligned}

Este campo se ve así:

Pensado como una fuerza, este campo vectorial empuja objetos alrededor del origen en sentido contraria a las manecillas del reloj. Por ejemplo, tal vez represente la fuerza debida al aire dentro de un tornado. Esto es poco realista porque implicaría que la fuerza aumenta continuamente conforme te alejas del centro del tornado, pero podemos eufemísticamente decir que es "un modelo simplificado" y continuar en nuestro alegre camino.

Supón que queremos calcular una integral de línea a través de este campo vectorial a lo largo de un círculo de radio

1

y centro en

(2, 0)

Debo señalar que, en este caso, la orientación importa. El trabajo realizado por el campo de fuerzas del tornado, conforme caminamos en el sentido contrario a las manecillas del reloj, puede ser distinto del trabajo realizado conforme caminamos en el sentido de las manecillas del reloj (más adelante estudiaremos explícitamente esta cuestión).

Si escogemos considerar una caminata sobre este círculo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, podemos parametrizar la curva con la función

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

donde

t

va de

0

2 π

De nuevo, para construir la integral de línea que representa el trabajo, debes considerar el campo vectorial en cada punto,

F (x, y)

, y calcular su producto punto con un pequeño paso a lo largo de la curva,

d r

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Paso 1: expande la integral

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales representa lo mismo que

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Paso 2: expande cada componente

Verificación de conceptos: con base en las definiciones anteriores, ¿qué es

F (r (t))

Verificación de conceptos: ¿qué es

r^{'} (t)

Paso 3: resuelve la integral

Verificación de conceptos: junta las tres respuestas anteriores para resolver la integral.

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

La respuesta final es la cantidad de trabajo que el campo de fuerzas del tornado realiza sobre una partícula que se mueve sobre el círculo descrito anteriormente en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Pregunta para reflexionar: ¿por qué está de acuerdo con la intuición que la respuesta sea positiva?

Ya que el círculo está orientado en dirección contraria a las manecillas del reloj, caminas hacia arriba en el primero y cuarto cuadrantes, y hacia abajo en el segundo y tercer cuadrantes.

Los vectores que tocan la mitad derecha del círculo son relativamente largos, y apuntan más o menos en la misma dirección en la que caminas; por lo tanto, contribuyen con un montón de trabajo positivo.

Los vectores que tocan la mitad izquierda del círculo todavía apuntan hacia arriba, que es ahora la dirección opuesta a la que caminas, y por lo tanto hacen trabajo negativo. Sin embargo, estos vectores son relativamente cortos, por lo que no cancelan el trabajo positivo realizado en la parte derecha.

La orientación importa

¿Qué habría pasado si en el ejemplo anterior hubiéramos orientado el círculo en dirección de las manecillas del reloj? Por ejemplo, podríamos haberlo parametrizado con la función

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ - \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

Si quieres, puedes sustituir esta expresión y hacer los cálculos para ver qué pasa. Sin embargo, hay una forma más sencilla de determinar qué pasaría. En la integral

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

cada vector

d r

que representa un pequeño paso a lo largo de la curva apuntará en la dirección opuesta.

Verificación de conceptos: supón que tienes dos vectores,

v

w

, y que

v \cdot w = 3

. Volteas

v

para que apunte en la dirección opuesta, y obtienes un nuevo vector,

v_{nuevo} = - v

. ¿Qué pasa con el producto punto?

v_{nuevo} \cdot w =

Ya que el producto punto dentro de la integral es multiplicado por

- 1

cuando cambias la dirección de cada

d r

, podemos concluir que:

Punto clave a recordar: la integral de línea a través de un campo vectorial se multiplica por

- 1

cuando reviertes la orientación de la curva sobre la que integras.

Resumen

La notación compacta para una integral de línea en un campo vectorial es

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

La notación más explícita, dada una parametrización $r (t)$ ‍ de $C$ ‍, es

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Las integrales de línea son útiles en física para calcular el trabajo que realiza una fuerza sobre un objeto en movimiento.
Si parametrizas las curva de tal forma que te muevas en la dirección opuesta conforme $t$ ‍ crece, el valor de la integral de línea se multiplica por $- 1$ ‍.

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Daniel Jesus Yanez Cherrez
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “como saber cuando utiliza...” de Daniel Jesus Yanez Cherrez
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- Rubén Jiménez
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “producto escalar cuando t...” de Rubén Jiménez
  producto escalar cuando te importe la proyección de un vector en otro, o cómo de alineados están, y producto vectorial cuando te interese el área que forman, o cómo de perpendiculares son
  
  Si quieres entenderlo con más profundidad te recomiendo:
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Mayumi Kato Scalia
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- Rubén Jiménez
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “si el campo vectorial rot...” de Rubén Jiménez
  si el campo vectorial rota no es conservativo. Imagínate una especie de scalextric sin motor en el recorrido (r(t)). El resultado de la integral sería el trabajo que ha absorbido el coche, la velocidad que ha alcanzado por el campo vectorial, que podría ser viento. Si el viento da en perpendicular el coche no se mueve porque está en su carril, pero a medida que se alinea el coche acelera en su recorrido. Si el circuito está cerrado la única forma de hacer que el coche de vueltas es con viento que también de vueltas, con un rotacional distinto de cero, y por lo tanto con un campo vectorial no conservativo. Si el viento fuese en una sola dirección (conservativo) el coche puede que comience a acelerar, hasta que tenga que volver (en contra del viento), entonces desacelerará la misma cantidad que antes aceleró y no podrá dar vueltas.
  Si el campo fuese conservativo es cierto que las integrales en trayectorias cerradas tienen que dar 0
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