La ecuación de corriente y voltaje de un capacitor en acción

El capacitor es uno de los elementos ideales de los circuitos. Pongamos un capacitor a trabajar para observar la relación entre la corriente y el voltaje. Las dos formas de la ecuación $i$‍-$v$‍ son:

$\text{C}$‍ es la capacitancia, una propiedad física del capacitor.
$\text{C}$‍ es el factor de escala para la relación entre $i$‍ y $dv/dt$‍.
$\text{C}$‍ determina qué tanta $i$‍ genera una cantidad de $dv/dt$‍ dada.

$v_0$‍ es el voltaje inicial a través del capacitor al tiempo $t=0$‍.

En este artículo, trabajaremos con la forma integral de la ecuación del capacitor. Nuestro circuito de ejemplo es una fuente de corriente conectada a un capacitor de $1\mu \text{F}$‍.

Supón que le aplicamos un pulso de corriente de $2\text{ mA}$‍ al capacitor de $1\mu \text{F}$‍ durante $3$‍ milisegundos, y que el voltaje inicial a través del capacitor es cero.

Utilizamos la forma integral de la ecuación del capacitor para determinar $v(t)$‍ en tres periodos diferentes: antes, durante y después del pulso de corriente.

Antes del pulso $(t<0)$‍, no hay flujo de corriente, por lo que $\text{C}$‍ no acumula carga. Por lo tanto, $v_{(t<0)}=0$‍. Ni siquiera tuvimos que usar la ecuación.

Durante todo el tiempo $T$‍ a lo largo del pulso de corriente $(0<t<3\text{ms})$‍, $\text{C}$‍ acumula carga y el voltaje aumenta. Podemos aplicar la ecuación del capacitor para determinar cómo cambia $v$‍,

Como $i$‍ es constante durante este periodo, podemos sacarla de la integral. También podemos ignorar $v_0$‍, pues vale cero.

Esta es la ecuación de una recta con pendiente $i/\text{C}$‍, válida durante el pulso. La pendiente es:

Al final del pulso, $T=3\text{ms}$‍, el voltaje a través del capacitor se eleva a:

Después del pulso $(3\text{ms}<t)$‍, la corriente cae a $0$‍, por lo que el capacitor deja de acumular carga. Como se mueve nada de carga, esperamos que el voltaje no cambie. Podemos confirmar esta suposición al evaluar la ecuación del capacitor para el tiempo y el voltaje iniciales $t=3\text{ms}$‍ y $v_{3\text{ms}}=6\text{V}$‍, respectivamente.

Ya no hay corriente, por lo que la carga se mantiene constante y el voltaje permanece en $6\text{V}$‍.

Si juntamos los tres periodos distintos, obtenemos $v(t)$‍:

Inténtalo tú mismo. Ajusta el tamaño y duración del pulso de corriente (el punto $\text{verde}$‍).

Tenemos un apodo para esta configuración de circuito (fuente de corriente que alimenta un capacitor): la llamamos integrador.